Relembrando Propriedades das Potências

Antes de começarmos, vamos relembrar (a jato!) algumas propriedades básicas de potências, que serão úteis mais à frente. Caso não tenha familiaridade com alguma delas, não é precisa memorizar; deixe esta lista perto de você para eventuais consultas.
Para $a>0$, $b>0$, $x \in \mathbb{R}$, $y \in \mathbb{R}$, valem as propriedades

1. $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\;\mathrm{fatores}\;a}$, para $n$ inteiro positivo.

2. $a^\frac{n}{m} = \sqrt[m]{a^n}$, para $m$ e $n$ inteiros, $m > 1$.

3. $a^0=1$ e $a^1 = a$

4. $a^x > 0$

5. $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

6. Para $a\neq 1$, a igualdade $a^x = 1$ vale se, e somente se, $x = 0$.

7. $(a^x)^y = a^{xy} = (a^y)^x$

8. $(ab)^x = a^xb^x$.

9. Se $a > 1$ e $x > 0$, então $a^x > 1$.

10. Se $0 < a < 1$ e $x > 0$, então $a^x < 1$.

Não faremos aqui uma demonstração das propriedades acima, por não ser o objetivo deste texto. Muitas das propriedades também são válidas quando $a$ ou $b$ forem negativos, porém algumas deixariam de valer, como a (iv), outras precisariam ser adaptadas ou ganhar hipóteses adicionais até mesmo para estarem bem definidas, como a (ii) e (vii) e a (viii), por exemplo. Por isso, nos limitamos apenas ao caso $a>0$ e $b>0$, que será o único necessário neste texto.

Exemplos Iniciais

Vamos considerar o tempo do início da observação como $t=0$. Enquanto não houver alguma interferência, teremos um crescimento como abaixo:

A cada hora, a população será o dobro da anterior. A partir disso, podemos obter uma expressão para a população $P$ em função de $t$, quando $t$ for um inteiro não-negativo.

Estes valores nos dão o esboço abaixo:

Porém, esta cultura de bactérias não dá ``saltos populacionais", o crescimento é gradual ao longo do tempo. Qual seria, por exemplo, a população de bactérias quando $t=1/2$, isto é, meia hora após iniciarmos a observação?

Em cada período de meia hora ($1/2$ hora), a população de bactérias cresce um mesmo fator, que vamos chamar de $a$. Assim, a população $P(1/2)$ meia hora após o início do experimento é igual à população inicial multiplicada por $a$. Da mesma forma a população $P(1)$ é igual à população de meia hora antes multiplicada por $a$, ou seja, $a\cdot P(1/2)$. Lembrando ainda que $P(1) = 2\cdot P(0)$,

\[\left\{ \begin{array}{rcl} P(1/2) &=& a\cdot P(0)\\ P(1) &=& a\cdot P(1/2)\\ P(1) &=& 2\cdot P(0)\\ \end{array} \right. \]

Substituindo o $P(1)$ da terceira igualdade por $a\cdot P(1/2)$ (dado pela segunda igualdade), temos

\[2\cdot P(0) = a\cdot P(1/2)\]

e, substituindo $P(1/2)$ acima por $a\cdot P(0)$ (dado pela primeira igualdade), temos

\[2\cdot P(0) = a\cdot \left(a\cdot P(0)\right).\]

Assim,

\[2\cdot P(0) = a^2 \cdot P(0),\]

logo $a^2 = 2$ e, portanto $a = \sqrt{2}$ ou $a=-\sqrt{2}$. Como o valor negativo não faz sentido no problema, temos $a = \sqrt{2} =2^{1/2}$.
Com isso, a população após meia hora de observação, é dada por

\[P(1/2) = a\cdot P(0) = 2^{1/2}\cdot 1.000.000 = 1.000.000 \cdot 2^{1/2}.\]

E qual seria a população de bactérias, por exemplo, quando $t=1/n$?

Assim como fizemos acima, em cada período de $1/n$ hora, a população de bactérias cresce um mesmo fator $b$. Logo a população em cada múltiplo de $1/n$ hora é a população de $1/n$ hora atrás multiplicada por $b$:

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} P(1/n) &=& b\cdot P(0)\\ P(2/n) &=& b\cdot P(1/n)\\ P(3/n) &=& b\cdot P(2/n)\\ &\vdots& \\ P(1) = P(n/n) &=& b\cdot P((n-1)/n)\\ \end{array} \right. \]

A primeira igualdade nos dá $P(1/n) = b\cdot P(0)$ que, substituindo na segunda, dá $P(2/n) = b^2 P(0)$. Substituindo este $P(2/n)$ na terceira, temos $P(3/n) = b^3P(0)$. Seguindo assim, chegaremos na última igualdade com $P(1) = P(n/n) = b^n P(0)$. Como $P(1) = 2\cdot P(0)$, temos

\[2\cdot P(0) = b^n\cdot P(0),\]

logo $b^n = 2$ e, portanto, $b = \sqrt[n]{2} =2^{1/n}$. (Quando $n$ é par, a equação $b^n = 2$ também admitiria a solução $b = -\sqrt[n]{2}$, que descartamos por não fazer sentido no fenômeno que estamos estudando)
Temos então

\[P(1/n) = b\cdot P(0) = 2^{1/n} \cdot 1.000.000.\]

Temos também

\[P(2/n) = b\cdot P(1/n) = 2^{1/n}\cdot (1.000.000 \cdot 2^{1/n}) = 1.000.000 \cdot 2^{2/n},\]

e, prosseguindo assim,

\[P(3/n) = b\cdot P(2/n) = 2^{1/n}\cdot (1.000.000 \cdot 2^{2/n}) = 1.000.000 \cdot 2^{3/n}.\]

\[P(4/n) = b\cdot P(3/n) = 2^{1/n}\cdot (1.000.000 \cdot 2^{3/n}) = 1.000.000 \cdot 2^{4/n}.\]

\[\vdots\]

\[P(m/n) = b\cdot P\left(\frac{m-1}{n}\right) = 2^{1/n}\cdot 1000 \cdot 2^{\frac{m-1}{n}} = 1.000.000\cdot 2^{m/n},\]

para todo $m \in \mathbb{N}$. E qual teria sido a população de bactérias, por exemplo, uma hora antes de a observação começar, isto é, quando $t=-1$?

Em cada período de 1 hora, a população de bactérias dobra, portanto a população $P(0)$ no começo da observação é o dobro da população $P(-1)$ de uma hora antes. Logo,

\[P(0) = 2 \cdot P(-1),\]

e então

\[\therefore P(-1) = \frac{P(0)}{2} = P(0)\cdot 2^{-1} = 1.000.000\cdot 2^{-1}.\]

Repetindo os argumentos feitos para $m, n \in \mathbb{N}$, podemos concluir que

\[P(-n) = 1.000.000 \cdot 2^{-n},\]

\[P(-m/n) = 1.000.000 \cdot 2^{-m/n}.\]

Até aqui, já concluímos então que, para todo número racional $t= m/n \in \mathbb{Q}$, temos

\[P(t) = 1.000.000\cdot 2^t.\]

Esta expressão pode ser estendida a todos os valores de $t \in \mathbb{R}$. Para isso, consideramos aproximações racionais $q$ cada vez melhores de $t$ e veremos o valor de $P(q)$ se aproximar do valor que será o de $P(t)$. Esta é apenas uma forma intuitiva de pensar, que ficará mais clara apenas à frente do curso, quando estudarmos limites e continuidade.
Para todo $t \in \mathbb{R}$, temos então

\[P(t) = 1.000.000\cdot 2^t.\]

O gráfico da função dada $P: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por esta expressão é como abaixo.

Veremos daqui a pouco algumas propriedades que justifiquem este gráfico. Ele não é obtido simplesmente ``ligando pontos" conhecidos. Apenas ligando pontos, nada nos garantiria que o gráfico

não nos daria algo como

Função Exponencial

Vamos entender um pouco melhor a expressão da função exponencial. A base, $a$, é um número real positivo fixo, o que varia é o expoente $x$. É diferente de uma função potência, com expressão na forma $f(x) = x^n$, em que o expoente é fixo e a base é quem varia.
O gráfico da função exponencial é como um dos gráficos abaixo, dependendo do valor de $a$.

Observe que, quando $a=1$ a função é constante e igual a 1, pois $1^x= 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Esta proposição é consequência direta da propriedade (iv) de potências, da primeira seção.
Outra observação muito importante é que, para qualquer base $a>0$,

\[f(0) = a^0 = 1.\]

Uma característica importante da função exponencial está na razão entre sua variação e seu valor. Vamos considerar uma função exponencial de expressão $f(x) = a^x$. Agora, fixemos um número positivo $\Delta x$. Para um valor qualquer de $x_0 \in \mathbb{R}$, a variação do valor da função entre $x_0$ e $x_0+\Delta x$ é dada por

\[\Delta f = f(x_0+\Delta x) - f(x_0).\]

No exemplo abaixo, vamos calcular a variação de $f(x)= \left(\frac{3}{2}\right)^x$, quando $\Delta x=2$, para dois valores diferentes de $x_0$. Depois, vamos dividir esta variação por $f(x_0)$, para ver o que obtemos.

As razões entre $\Delta f$ e $f(x_0)$ calculadas acima ficaram iguais! Isso não é exclusividade deste exemplo. Sempre que fixarmos $\Delta x > 0$, a razão $\dfrac{f(x + \Delta x) - f(x)}{f(x)}$ será constante.
Você pode experimentar um pouco o cálculo desta razão no applet disponível em:

O fato desta razão ser constante não deveria ser uma surpresa. Lembre-se dos exemplos que vimos no começo deste texto. Neles, para cada intervalo de tempo fixado ($\Delta x$), a variação de uma grandeza ($\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$) era proporcional ao valor da mesma grandeza no começo do intervalo ($f(x_0)$).
Vamos verificar que isso realmente sempre ocorre.

\begin{eqnarray*} \Delta f &=& f(x_0+\Delta x) - f(x_0)\\ \\ &=& a^{x_0+\Delta x} - a^{x_0}\\ \\ &=& a^{x_0}\cdot a^{\Delta x} - a^{x_0}\\ \\ &=& a^{x_0}(a^{\Delta x} - 1)\\ \\ &=& f(x_0) \underbrace{(a^{\Delta x} - 1)}_{\begin{array}{c}\textnormal{constante, pois $a$}\\ \textnormal{e $\Delta x$ são fixados}\end{array}} \end{eqnarray*}

Assim,

\[\frac{\Delta f}{f(x_0)} = \frac{f(x_0)(a^{\Delta x} - 1)}{f(x_0)} = \underbrace{(a^{\Delta x} - 1)}_{\mathrm{constante}} \]

Logo, concluímos que, fixada a variação $\Delta x$ do parâmetro $x$, a variação $\Delta f$ da função naquele intervalo será proporcional ao valor $f(x_0)$ da função no começo do intervalo.
Podemos ainda tirar outras conclusões a partir da expressão

\[\Delta f = f(x_0) (a^{\Delta x} - 1) \]

que obtivemos.
Se \(a > 1\), como \(\Delta x > 0\), teremos \(a^{\Delta x} > 1\), logo \(a^{\Delta x}-1 > 0\). Com isso,

\[\Delta f = \underbrace{f(x_0)}_{\mathrm{positivo}} \underbrace{(a^{\Delta x} - 1)}_{\mathrm{positivo}} > 0.\]

Ou seja, a variação da função é positiva em qualquer intervalo. Portanto a função \(f\) é crescente.
Se \(0 < a < 1\), como \({\Delta x} > 0\), teremos \(a^{\Delta x} < 1\), logo \(a^{\Delta x}-1 < 0\). Com isso,

\[\Delta f = \underbrace{f(x_0)}_{\mathrm{positivo}} \underbrace{(a^{\Delta x} - 1)}_{\mathrm{negativo}} < 0.\]

Ou seja, se $0 < a < 1$, a variação da função é negativa em qualquer intervalo. Portanto a função $f$ é decrescente.
Se \(a=1\), temos \(a^{\Delta x} = 1\), logo \(a^{\Delta x}-1 = 0\). Portanto, a variação de $f$ é sempre nula, o que já era esperado, pois \(f\) é constante. Assim, para deixar registrado o que concluímos, vamos enunciar uma proposição:

Podemos também calcular a variação média da exponencial, isto é, a razão $\frac{\Delta f}{\Delta x}$. Pelo que calculamos acima,

\[\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0)(a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} = f(x_0)\underbrace{\frac{(a^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}}_{\begin{array}{c}\textnormal{constante, pois $a$}\\\textnormal{e $\Delta x$ são fixados}\end{array}},\]

que também não varia com a mudança do $x_0$. Esta variação média depende apenas do $\Delta x$ e do $a$ fixados.
Uma consequência, da Proposição anterior é que, se a base $a$ for diferente de 0, a função exponencial sempre mudará de valor quando houver mudança do parâmetro $x$. Com isso, podemos também enunciar o resultado a seguir.

Comparação entre Exponenciais

Vamos comparar duas exponenciais de bases diferentes $a$ e $b$, com $ 0 < a < b$. Considere as funções $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dadas por $f(x) = a^x$ e $g(x) = b^x$.
Para $x >0$,

\[\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{b^x}{a^x} = \left(\frac{b}{a}\right)^x.\]

Como $b > a$, temos $\frac{b}{a} > 1$ e, como $x >0$, temos $\left(\frac{b}{a}\right)^x > 1$. Logo

\[\frac{g(x)}{f(x)} > 1.\]

Com isso, $g(x) > f(x)$.
Assim, para um mesmo $\boldsymbol{x > 0}$, quanto maior a base, maior o valor da função.
Para $x < 0$,

\[\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{b^x}{a^x} = \left(\frac{b}{a}\right)^x = \left(\frac{a}{b}\right)^{-x}.\]

Como $a < b$, temos $\frac{a}{b} < 1$ e, como $-x >0$, temos $\left(\frac{a}{b}\right)^{-x} < 1$. Logo

\[\frac{g(x)}{f(x)} < 1.\]

Com isso, $g(x) < f(x)$.
Assim, para um mesmo $\boldsymbol{x < 0}$, quanto maior a base, menor o valor da função.
O esboço abaixo mostra alguns exemplos de gráficos de funções exponenciais. Tente observar as relações obtidas nos parágrafos anteriores. Note que, para $x0$, quanto maior a base, mais acima está o gráfico da exponencial correspondente. Para $x<0$, a situação se inverte.

\[\small \frac{1}{2}<\frac{2}{3}<1<\frac{3}{2}<2\]

Nas esboço anterior, vamos exibir as retas tangentes (não importa ainda como as obtivemos!) aos gráficos das funções exponenciais exibidas, no ponto $(0,1)$.

Agora vamos olhar com maior aproximação para o gráfico e as tangentes de duas dessas funções, de bases 2 e 3.

Vamos traçar a reta $x=y$, de coeficiente angular 1, que é a diagonal principal do plano cartesiano. Depois, traçaremos a reta $y=x+1$, paralela a $y=x$ e passando pelo ponto $(0,1)$.

Podemos perceber que a inclinação desta reta está entre as inclinações das retas tangentes a
$f(x)= 2^x$ e $g(x)= 3^x$ em $(0,1)$. É razoável, portanto, acreditar que, para alguma base especial $a$, com $2 < a < 3$, a reta tangente ao gráfico da função $h(x)=a^x$ é dada por $y=x+1$.

Esta base especial existe, e é dada por um número irracional muito especial, denotado por $e$ e cujos primeiros dígitos são

\[e = 2,\!71828182846...\]

A função exponencial dada por $f(x) = e^x$ é também denotada por $\exp(x)$, de tão especial que é.
O número $e = 2,\!71828182846...$ é chamado, entre outros nomes, de número de Euler, número de Napier, base natural e desempenhará um papel fundamental na disciplina Cálculo 1A. Mas, por enquanto, não se preocupe com ele; o importante agora é apenas saber se sua existência, saber que é algo ali entre $2,\!5$ e 3. Este número pode até parecer meio esquisitão à primeira vista, mas saiba que sua aparição em qualquer problema de Cálculo certamente torna tudo mais fácil! A modelagem da maior parte dos fenômenos naturais atraem (naturalmente!) o número $e$, de tão bonito que ele é.
Guarde bem o que vou dizer, para que eu possa cobrar no futuro. Você ainda ficará muito feliz quando uma exponencial $f(x) = e^x$ cruzar o seu caminho em um problema de derivadas ou integrais!

Equações e Inequações Exponenciais

As Proposições 2 e 3 são muito importantes para resolvermos equações e inequações em que a variável apareça no expoente de expressões.