Lista 3

Exercício 1

Em cada um dos gráficos a seguir, discuta a existência dos limites laterais e do limite propriamente dito nos pontos a indicados.


Figura 1: a=0


Figura 2: a=−1


Figura 3: a=0

Solução

Na Figura 1 temos que o limite à esquerda vale 1, o limite à direita vale −2. Não existe o limite em a=0 pois os limites laterais são diferentes. Na Figura 2 temos que o limite à esquerda vale 2, o limite à direita vale 2. Portanto, limx→af(x)=2. Na Figura 3 temos que o limite à esquerda não existe pois a função não se aproxima de nenhum valor finito, o limite à direita vale 3. Não existe o limite em x=a.

Exercício 2

Considerando o gráfico de h representado à direita, determine caso exista o limx→0h(x2+3).


Solução

Temos que limx→0−h(x2+3)=limy→3+h(y)=0 e limx→0+h(x2+3)=limy→3+h(y)=0. Como os limites laterais são iguais, então limx→0+h(x2+3)=0.

Exercício 3

Em cada um dos exercícios abaixo calcule o limite (se existir) das funções no ponto a indicado. Se o limite não existir, explique por quê.

  1. a=1,f(x)=3x−52x+1, x∈R∖{−1/2}

  2. a=π,f(x)=ln(x)⋅sen(x), x∈(0,∞)

  3. a=π/4,f(x)=cos(x)−sen(x), x∈R

  4. a=1+,f(x)=ln(x)ex, x>1

  5. a=2,f(x)={2x+1,se x>23x−1,se x<2

  6. a=2,f(x)={2x+3,se x>23x−1,se x<2

Solução

  1. −2/3;

  2. 0;

  3. 0;

  4. 0;

  5. limx→2+f(x)=5, e limx→2−f(x)=5⇒limx→2f(x)=5

  6. limx→2+f(x)=7, e limx→2−f(x)=5⇒∄limx→2+f(x)

Exercício 4

Considere:

f(x)={ex+2,se x>23x+1,se x<1 e f(x)={x2+1,se x<0x3,se x<1

Estude limx→0f∘g(x)

Solução

Se x→0−, g(x)→1+, porque para valores de x menores que 0, g(x)=x2+1 e x2+1>1. Se x→1+, f(x)→e+2. Portanto, limx→0−f∘g(x)=e+2. Se x→0+, g(x)→0+ e limx→0+f(x)=1. Portanto, limx→0+f∘g(x)=1. Conclusão: Não existe o limite da composta, porque os limites laterais são diferentes.

Exercício 5

Em cada um dos itens abaixo calcule os limites laterais (se existirem) e discuta a existência do limite no ponto a indicado:

  1. a=2,f(x)=(x2−4)2(x−2)2(x+3)

  2. a=0,f(x)=ex−1ex+1

  3. a=1,f(x)=ln(x2)2x−4

  4. a=1,f(x)=x3+x+2x−1

  5. a=1,f(x)=|x−1|x2−1

Solução

  1. 16/5

  2. 0

  3. 0

  4. O limite não existe.

  5. O limite não existe pois os limites laterais são distintos, limx→1+|x−1|x2+1=12 e limx→1−|x−1|x2−1=−12

Exercício 6

Seja f(x)=2x,x∈R. Encontre uma expressão para limx→3fn(x) onde fn é a composta da função f um número n de vezes: fn=f∘f∘⋯n∘f, ou seja, n vezes (n≥1).

Solução

Observe

f(x)=2x, f2(x)=f∘f(x)=f(f(x))=f(2x)=2(2x)=22x, f3(x)=f∘f∘f∘f(x)=f(f∘f(x))=f(f2(f(x))−f(22x)=2(22x)=23x, ⋯

Assim fn(x)=2n(x) para qualquer n⩾1. Finalmente, obtemos que limx→3fn(x)=2n⋅3.

Exercício 7

Em cada um dos itens abaixo, determine:

  1. limx→−12x2−3x−5x+1

  2. limx→24x+1−3x−2

  3. limx→−3x3+5x2+7x+32x3+9x2+10x+3

  4. limx→01+x−1−xx

  5. limx→−1x3+1x+1

  6. limx→−1x3−a3x−a

Solução

  1. limx→−12x2−3x−5x+1=limx→−1(x+1)(2x−5)x+1=limx→−1(2x−5)=−7

  2. limx→24x+1−3x−2=limx→2(4x+1−3)(x−2)⋅(4x+1−3)(4x+1−3)=limx→24(x−2)(x−2)(4x+1−3)=limx→24(4x+1−3)=23

  3. limx→−3x3+5x2+7x+32x3+9x2+10x+3=limx→−3(x+1)2(x+3)(x+1)(x+3)(2x+1)=limx→−3(x+1)2(x+1)(2x+1)=25

  4. limx→01+x−1−xx=limx→01+x−1−xx⋅1+x+1−x1+x+1−x=limx→01+x−(1−x)x(1+x+1−x)=limx→02xx(1+x+1−x)=limx→02(1+x+1−x)=22=1

  5. limx→−1x3+1x+1=limx→−1x3+1x+1⋅x23−x3+1x23−x3+1=limx→−1x+1(x+1)(x23−x3+1)=limx→−11(x23−x3+1)=13

  6. limx→ax3−a3x−a=limx→ax3−a3x−a⋅x23+ax3+a23x23+ax3+a23=limx→ax−a(x−a)(x23+ax3+a23)=limx→a1x23+ax3+a23=13a23=a33a

Exercício 8

Seja f:R→R uma função tal que limx→0f(x)x=1. Determine:

  1. limx→0f(3x)x

  2. limx→0f(x−1)x−1

Solução

  1. limx→0f(3x)x=limx→0f(3x)⋅3x⋅3=3⋅limx→0f(3x)3x=3⋅limt→0f(t)t=3.

  2. limx→1f(x−1)x−1=limt→0f(t)t=1.

Exercício 9

  1. limx→0x2 sen(1x)

  2. limx→0x27 cos(149x)

  3. limx→0+x esen(πx)

  4. limx→0(cos(x)−1) sen(1x)

  5. limx→−1(2x2+x−1)cos(1x+1)

Solução

Em todos os itens aplicaremos o teorema do anulamento. Para isso, lembramos que precisamos comprovar que a função, cujo limite queremos calcular, se pode escrever como produto de uma função limitada por uma função com limite zero.

  1. limx→0x2⋅sen(1x)=0

  2. limx→0x27⋅cos(149x)=0

  3. limx→0+x⋅esen(πx)=0

  4. limx→0(cos(x)−1)sen(1x)=0

  5. limx→−1(2x2+x−1)⋅cos(1x+1)=0

Exercício 10

Determine:

  1. limx→0sen(2020x)x

  2. limx→0tg(x)x

  3. limx→ptg(x−p)x2−p2;p≠0

  4. limx→0sen(x−3)|x2−2x−3|

  5. limx→01−sen(x)2x−π

Solução

  1. limx→0sen(2020x)x=limx→0sen(2020x)⋅2020x⋅2020=2020⋅limy→0sen(y)y=2020

  2. limx→0tg(x)x=limx→0sen(x)x cos(x)=limx→0sen(x)x⋅limx→01cos(x)=1

  3. limx→ptg(x−p)x2−p2=limx→ptg(x−p)(x−p)(x−p)=limh→0tg(h)h(h+2p)=12p

  4. Como temos um módulo no denominador e x2−2x−3=(x−3)(x−1) tem sinais diferentes à esquerda e à direita de 3, vamos calcular os limites laterais.

     

    limx→3−sen(x−3)|x2−2x−3|=limx→3−sen(x−3)−(x−3)(x+1)=limx→3−−1x+1⋅limx→3−sen(x−3)x−3=(−14)⋅limt→0−sen(t)t=−14

     

    Analogamente, limx→3+sen(x−3)|x2−2x−3|=14, portanto limx→3sen(x−3)|x2−2x−3| não existe.

     

  5. limx→π21−sen x2x−π=limt→01−sen(t+π2)2t=limt→01−sen(t) cos(π2)−cos(t) sen(π2)2t=limt→01−cos(t)2t

    portanto, limt→01−cos(t)2t=limt→01−cos(t)2t⋅1+cos(t)1+cos(t)=limt→01−cos2(t)2t⋅(1+cos(t))=limt→0sen2(t)2t⋅(1+cos(t))=12⋅limt→0sen(t)t⋅limt→0sen(t)1+cos(t)=0

Exercício 11

Assumindo que limx→0x⋅cosec(x)=1, calcule limx→0tg(3x)sen(4x)

Solução

limx→0tg(3x)sen(4x)=limx→0tg(3x)sen(4x)⋅12x12x=limx→034⋅tg(3x)3x⋅4xsen(4x)=34limy→0tg(y)y⋅limt→0tsen(t)=34