Expressões do Segundo Grau

Abaixo, vamos descrever uma situação, para o caso particular de televisões, mas que fabricantes, de um modo geral, vivenciam.

\begin{eqnarray*}& & y = -3x^2+6.500x-(-3.000x+6.500.000)\\& \Rightarrow & y = -3x^2+9.500x-6.500.000\\\end{eqnarray*}

Expressões como a da lucro obtida acima são chamadas de expressões do segundo grau.

Observe no applet acima a variação do lucro $y$ em função do preço $x$. Aproveite para pensar nas seguintes perguntas:

1. Há um valor que seria o maior valor que $y$ assume? Consegue perceber um valor aproximado para esse $y$ máximo? E para o valor de $x$ associado a esse $y$ máximo?

2. O que significa a parte do gráfico em que $y$ é negativo? Nesse caso, a parte correspondente do gráfico está acima ou abaixo do eixo $x$?

3. Quando o gráfico ``encontra'' o eixo $x$, qual o valor de $y$? Qual o valor aproximado do maior valor de $x$ onde este ``encontro'' acontece?

4. Como saber o valor exato de tudo o que foi perguntado acima? Se não sabe, continue a leitura que você vai descobrir!

A Expressão $y=ax^2+bx+c$

Uma expressão do segundo grau é do tipo

\begin{eqnarray}y=ax^2+bx+c,\end{eqnarray}

com $x \in \mathbb{R}$, onde $a$, $b$ e $c$ são constantes reais, com $a\not = 0$. Note que se $a=0$, temos uma expressão do primeiro grau, estudada anteriormente. A representação de $y=ax^2+bx+c$, $x \in \mathbb{R}$, no plano cartesiano, dada pelos pares ordenados $(x,ax^2+bx+c)$, ou seja, o gráfico de uma expressão do segundo grau é uma curva chamada de parábola, que intersecta o eixo $y$ no ponto $(0,c)$, cuja concavidade é para cima ($\cup$), quando $a>0$ e é para baixo ($\cap$), quando $a<0$. Observe os exemplos a seguir:

Nos exemplos de parábolas acima, marcamos os pontos importantes $V_1$, $V_2$, $V_3$ e $V_4$, que são os vértices das parábolas. A notação usual para a abscissa e a ordenada do vértice $V$ de uma parábola é, respectivamente, $x_v$ e $y_v$. Assim , temos que $V=(x_v,y_v)$. Nas parábolas (i) e (iii), como o coeficiente do termo de segundo grau é positivo, i.e. $a>0$, a ordenada do vértice, $y_v$, corresponde ao menor valor que a expressão quadrática assume em toda a reta real. Já nas parábolas (ii) e (iv), sendo $a<0$, a ordenada do vértice, $y_v$, corresponde ao maior valor que a expressão quadrática assume em toda a reta real.

Observe que nas parábolas (i), (ii) e (iv) há interseção da parábola com o eixo $x$, mas, na parábola (iii), não existe interseção da parábola com o eixo $x$. Em todos os exemplos, entretanto, há interseção com o eixo $y$.

As raízes da Equação $ax^2+bx+c=0$

As raízes da equação $ax^2+bx+c=0$ está entre os assuntos mais lembrados da Matemática do Ensino Médio. Imediatamente nos vem à mente a clássica expressão $\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, que, como tantas outras, faz parte do nosso repertório de expressões lembradas mas, não necessariamente entendidas.

Esta expressão é parte da famosa ``Fórmula de Bhaskara'' para solução da equação do segundo grau. Esperamos deixar claro a importância do ``$\Delta$'', $\Delta=b^2-4ac$, associado a uma expressão do segundo grau em relação ao estudo das raízes (interseções com o eixo $x$). Abaixo apresentaremos a igualdade que permite concluir a fórmula das raízes da equação $ax^2+bx+c=0$ e, se você tiver curiosidade de saber como aparece esse ``tal delta'', não deixe de ler a seção ``Sobre a Fórmula de Bhaskara''.

Através de umas manipulações algébricas que são feitas em detalhes na seção referida acima, temos que

\begin{eqnarray} \tag{1}y=ax^2+bx+c=a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a},\end{eqnarray}

onde $\Delta=b^2 - 4ac$, de modo que

\[ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.\]

Portanto, temos que a equação $ax^2+bx+c=0$:

• possui duas soluções reais distintas se, e somente se, $\Delta > 0$, sendo estas

  \[x_1 = -\frac{b}{2a} +\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ e } x_2 = -\frac{b}{2a} -\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\]

  ou, escrito de forma condensada

  \[x = -\frac{b}{2a} \pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a};\]

• possui duas soluções reais iguais se, e somente se, $\Delta = 0$, sendo esta

  \[x = -\frac{b}{2a};\]

• não possui soluções reais se, e somente se, $\Delta < 0$, pois um número real ao quadrado é sempre positivo ou nulo (quando o próprio número é zero).

 

Aproveite o applet abaixo para visualizar a variação do número de raízes em função do sinal de $\Delta$ alterando os valores de $a$, $b$ e $c$.

O Vértice

O vértice de uma parábola é dado por $V=(x_v,y_v )=\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$. Mas, o que esse ponto tem de especial a ponto de ser ressaltado?

Vamos supor primeiro que $a>0$ e voltar à igualdade 1 para respondermos essa pergunta. Observe que

$$y=a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$

assumirá o valor mínimo quando $(x+b/2a)^2=0$, pois esse termo, por ser o quadrado de um número real, é nulo ou positivo. Logo, se $a>0$, $x_v=-\dfrac{b}{2a}$ é a abscissa do ponto onde a ordenada $y$ tem o valor mínimo, a saber, $-\dfrac{\Delta}{4a}$. Na próxima seção, ao estudarmos parábolas, veremos que se $a>0$, a parábola possui concavidade voltada para cima. Desta forma, verificaremos geometricamente que é no vértice que se dá o menor valor da ordenada $y$ da parábola.

De forma análoga, se $a<0$, temos que

$$y=a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$$

assumirá o valor máximo quando $(x+b/2a)^2=0$, pois esse termo é nulo ou positivo. Logo, se $a<0$, $x_v=-\dfrac{b}{2a}$ é a abscissa do ponto onde a ordenada $y$ tem o valor máximo, a saber, $-\dfrac{\Delta}{4a}$. Na próxima seção, ao estudarmos parábolas, veremos que se $a<0$, a parábola possui concavidade voltada para baixo. Desta forma, verificaremos geometricamente que é no vértice que se dá o maior valor da ordenada $y$ da parábola.

Esboço de Parábolas

Vimos que a representação de $y=ax^2+bx+c$, $x \in \mathbb{R}$, $a$, $b$, $c$ constantes reais e $a \not=0$ , no plano cartesiano, é dada pelos pares ordenados $(x,ax^2+bx+c)$, ou seja, o gráfico de uma expressão do segundo grau é uma curva chamada de parábola, cuja concavidade é para cima ($\cup$), quando $a>0$ e é para baixo ($\cap$), quando $a<0$.

Nesta seção, vamos dividir o esboço de parábolas em seis diferentes casos, dependendo do sinal de $a$ e do sinal de $\Delta$, que, conforme visto, se relaciona com o número de raízes da equação $ax^2+bx+c=0$, ou equivalentemente, com o número de interseções da parábola com o eixo $x$.

Para desenhar uma parábola, temos que determinar a sua concavidade, o seu vértice e onde ela intersecta os eixos coordenados. Observe que a reta dada por $x=x_v$ é o eixo de simetria da parábola. Isto significa que o esboço da parte da parábola para $x>x_v$ é o espelho (reflexo) do esboço da parte da parábola para $x_0$, a parábola possui concavidade voltada para cima e, se $a<0$, a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Note que, quando um ponto $(x,y)$ está sobre o eixo $y$, sua primeira coordenada, ou seja, a abscissa do ponto, é igual a zero. Assim, para determinar os valores $y$ em que a parábola $y=ax^2+bx+c$ intersecta o eixo $y$, fazemos $x=0$, nesta equação. Desta forma, o valor $y$ procurado deve ser a solução de $y=a(0)^2+b(0)+c=0$, ou seja, $y=c$. Portanto, a parábola intersecta o eixo $y$ no ponto $(0,c)$.

Por outro lado, note que, quando um ponto $(x,y)$ está sobre o eixo $x$, sua segunda coordenada, ou seja, a ordenada do ponto, é igual a zero. Assim, para determinar os valores $x$ em que a parábola $y=ax^2+bx+c$ intersecta o eixo $x$, fazemos $y=0$, nesta equação. Desta forma, os valores $x$ procurados devem ser as soluções da equação do segundo grau $ax^2+bx+c=0$, estudadas na seção anterior e dadas pela fórmula de Bhaskara

\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \mbox{ onde } \Delta=b^2-4ac.\]

Conforme visto, de acordo com o valor de $\Delta$, podemos ter três tipos de soluções para a equação $ax^2+bx+c=0$.

• Caso 1: $\Delta=b^2-4ac>0$.
  
  

  Neste caso, a equação $ax^2+bx+c=0$ tem como solução dois valores reais distintos, dados por

  \[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ e } x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\]

  de modo que a parábola intersecta o eixo $x$ nos pontos $(x_1,0)$ e $(x_2,0)$. Vamos dividir este caso em dois subcasos, em função do sinal de $a$.

   

  Caso 1a: $\Delta=b^2-4ac>0$ e $a>0$.
  
  Como $a~>~0$, a concavidade da parábola é para cima.
  
  

  Caso 1b: $\Delta=b^2-4ac>0$ e $a<0$.
  
  Como $a<0$, a concavidade da parábola é para baixo.
  
  

   

• Caso 2: $\Delta=b^2-4ac=0$.
  
  

  Neste caso, a equação $ax^2+bx+c=0$ tem uma única solução, dada por

  \[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}.\]

  Portanto, a parábola intersecta o eixo $x$ no ponto $(x_1,0)$. Como anteriormente feito, vamos dividir este caso em dois subcasos, em função do sinal de $a$.

   

  Caso 2a: $\Delta=b^2-4ac=0$ e $a>0$.
  
  Como $a>0$, a concavidade da parábola é para cima.
  
  

  Caso 2b: $\Delta=b^2-4ac=0$ e $a<0$.
  
  Como $a<0$, a concavidade da parábola é para baixo.
  
  

   

• Caso 3: $\Delta=b^2-4ac<0$.
  
  Neste caso, a equação $ax^2+bx+c=0$ não possui solução real. Como feito antes, vamos dividir este caso em dois subcasos, em função do sinal de $a$.

   

  Caso 3a: $\Delta=b^2-4ac<0$ e $a>0$.
  
  Como $a>0$, a concavidade da parábola é para cima.
  
  

  (3b) $\Delta=b^2-4ac<0$ e $a<0$.
  
  Como $a<0$, a concavidade da parábola é para baixo.
  
  

Esboce diferentes parábolas alterando os valores de $a$, $b$ e $c$ com o applet abaixo. É bem divertido!

Observe que:

• a parábola (i), dada por $y=2x^2-8x+6$ ,se enquadra no Caso (1a), pois $\Delta=16 >0$ e $a=2> 0$: concavidade voltada para cima e com duas interseções com o eixo $x$;

• a parábola (ii), dada por $y=4-x^2$, se enquadra no Caso (1b), pois $\Delta=16 >0$ e $a=-1< 0$: concavidade voltada para baixo e com duas interseções com o eixo $x$;

• a parábola (iii), dada por $y=x^2-2x+2$, se enquadra no Caso (3a), pois $\Delta =-4<0$ e $a=1> 0$: concavidade voltada para cima e nenhuma interseção com o eixo $x$;

• a parábola (iv), dada por $y=-x^2+4x-4$ se enquadra no Caso (2b), pois $\Delta =0$ e $a=-1< 0$: concavidade voltada para baixo e com apenas uma interseção com o eixo $x$.

Estudo do Sinal de uma Expressão do Segundo Grau

Voltando ao nosso exemplo inicial, suponha que o fabricante queira saber o intervalo de preços no qual ele pode trabalhar, de forma que obtenha lucro. Observe que obter lucro, significa que a expressão que representa o lucro, que é a expressão $y = -3x^2+9.500x-6.500.000$, deve ser positiva. Desta forma, o que o fabricante deseja saber é quando

$$-3x^2+9.500x-6.500.000>0.$$

Análises como a acima são conhecidas como estudo de sinais de expressões e, neste caso, desejamos estudar o sinal de uma expressão do segundo grau. Para fazermos isto, vamos aproveitar nosso conhecimento de parábolas da seção anterior.

Conforme vimos, a representação de $y=ax^2+bx+c$, $x \in \mathbb{R}$, $a$, $b$, $c$ constantes reais e $a \not=0$ , no plano cartesiano, dada pelos pares ordenados $(x,ax^2+bx+c)$, ou seja, o gráfico de uma expressão do 2$^\text{o}$ grau é uma parábola, cuja concavidade é para cima ($\cup$), quando $a>0$ e é para baixo ($\cap$), quando $a<0$ e cuja interseção com o eixo $x$ é regida pelo valor de $\Delta$.

Desta forma, repare que querer determinar os valores de $x$ para os quais $ax^2+bx+c>0$, equivale a descobrir os valores de $x$ para os quais a ordenada $y$ dos pontos da parábola $y=ax^2+bx+c$ é positiva, uma vez que um ponto $(x,y)$ desta parábola é da forma $(x,ax^2+bx+c)$. Agora, repare que os valores de $x$ para os quais a ordenada $y$ da parábola é positiva, são os valores de $x$ correspondentes às partes da parábola que estão acima do eixo $x$. Analogamente, para determinar os valores de $x$ para os quais $ax^2+bx+c<0$ precisamos descobrir os valores de $x$ para os quais a ordenada $y$ dos pontos da parábola $y=ax^2+bx+c$ é negativa, que são os valores de $x$ correspondentes às partes da parábola que estão abaixo do eixo $x$. Lembre-se que você já sabe os valores de $x$ tais que $ax^2+bx+c=0$, que são dados pela fórmula de Bhaskara, quando $\Delta \geq 0$, e que são os pontos da parábola sobre o eixo $x$.

Vamos então dividir o estudo de sinais de uma expressão do segundo grau analisando o valores de $\Delta$ e de $a$, da mesma forma feita no esboço de parábolas da seção anterior.

• Caso 1: $\Delta=b^2-4ac>0$.
  

  Neste caso, a equação $ax^2+bx+c=0$ tem como solução dois valores reais distintos, dados por,

  \[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ e } x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\]

  de modo que a parábola intersecta o eixo $x$ nos pontos $(x_1,0)$ e $(x_2,0)$.
  

  • Caso 1a: $\Delta=b^2-4ac>0$ e $a>0$.
    Como $a>0$, a concavidade da parábola é para cima. Portanto, a parábola está abaixo do eixo $x$ entre as raízes e acima do eixo $x$, fora. Ou seja,

    • $y=ax^2+bx+c>0$, para $x<x_1$ ou $x> x_2$.

    • $y=ax^2+bx+c<0$, para $x_1<x< x_2$.

    

    
    
    

  • Caso 1b: $\Delta=b^2-4ac>0$ e $a<0$.
    Como $a<0$, a concavidade da parábola é para baixo. Portanto, a parábola está acima do eixo $x$ entre as raízes e abaixo do eixo $x$, fora. Ou seja,

    • $y=ax^2+bx+c>0$, para $x_1<x< x_2.$

    • $y=ax^2+bx+c<0$, para $x<x_1$ ou $x> x_2.$

    

    
    
    

• Caso 2: $\Delta=b^2-4ac=0$.
  

  Neste caso, a equação $ax^2+bx+c=0$ tem uma única solução, dada por,

  \[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}.\]

  Portanto, a parábola intersecta o eixo $x$ no ponto $(x_1,0)$.
  

  • Caso 2a: $\Delta=b^2-4ac=0$ e $a>0$.
    Como $a>0$, a concavidade da parábola é para cima. Portanto, tirando o ponto $x_1=-\dfrac{b}{2a}$, onde $y=0$ e a parábola ``toca'' o eixo $x$, temos que a parábola está sempre acima do eixo $x$. Ou seja,

    • $y=ax^2+bx+c>0$, para $x\not =-\dfrac{b}{2a}$.

    

    
    
    

  • Caso 2b: $\Delta=b^2-4ac=0$ e $a<0$.
    Como $a<0$, a concavidade da parábola é para baixo. Portanto, tirando o ponto $x=-\dfrac{b}{2a}$, onde $y=0$ e a parábola ``toca'' o eixo $x$, temos que a parábola está sempre abaixo do eixo $x$. Ou seja,

    • $y=ax^2+bx+c<0$, para $x\not =-\dfrac{b}{2a}$.

    

    
    
    

• Caso 3: $\Delta=b^2-4ac<0$.
  

  Neste caso, a equação $ax^2+bx+c=0$ não possui solução real.
  

  • Caso 3a: $\Delta=b^2-4ac<0$ e $a>0$.
    Como a equação $ax^2+bx+c=0$ não possui soluções reais, a parábola não intersecta o eixo $x$.
    Como $a>0$, a concavidade da parábola é para cima. Portanto, temos que a parábola está sempre acima do eixo $x$ para qualquer valor de $x$. Ou seja,

    • $y=ax^2+bx+c>0$, para $x\in \mathbb{R}$.

    

    
    
    

  • Caso 3b: $\Delta=b^2-4ac<0$ e $a<0$.
    Como a equação $ax^2+bx+c=0$ não possui soluções reais, a parábola não intersecta o eixo $x$.
    Como $a<0$, a concavidade da parábola é para baixo. Portanto, temos que a parábola está sempre abaixo do eixo $x$ para qualquer valor de $x$. Ou seja,

    • $y=ax^2+bx+c<0$, para $x\in \mathbb{R}$.

    

    
    
    

De posse dos conhecimentos adquidos anteriormente, vamos resolver o problema do exemplo inicial e determinar, de forma exata e não somente aproximada, o intervalo de preços no qual o fabricante possui lucro. Ou seja, vamos determinar para que valores de $x$, tem-se $y = -3x^2+9.500x-6.500.000>0$. Neste caso, como $\Delta=(-9.500)^2-4(-3)(6.500.0000)=12.250.000>0$, temos que a equação $-3x^2+9.500x-6.500.000=0$ possui duas raízes reais distintas. São elas,

\[x_1=\dfrac{-9.500+\sqrt{12.250.000}}{2.(-3)} =\dfrac{-9.500+3.500}{-6}=\dfrac{-6.000}{-6}=1.000\] \[x_2=\dfrac{-9.500-\sqrt{12.250.000}}{2.(-3)} =\dfrac{-9.500-3.500}{-6}=\dfrac{-13.000}{-6}=3.250\]

de modo que a parábola intersecta o eixo $x$ nos pontos $(1.000,0)$ e $\left(3.250,0\right)$.

Como $a=-3<0$, a parábola possui concavidade voltada para baixo e, portanto, o valor do lucro $y$ será positivo quando o preço $x$ estiver entre as raízes. Sendo assim, temos que

$$y = -3x^2+9.500x-6.500.000>0 \Leftrightarrow x \in \left(1.000,3.250\right)$$

Observe que lucro negativo significa prejuízo e, portanto, deve ser evitado!

Vamos aproveitar para verificar os sinais das expressões dadas pelas parábolas de (i) a (iv):

• a parábola (i), dada por $y=2x^2-8x+6$, se enquadra no Caso (1a): possui duas raízes reais distintas, a saber, $x_1=3$ e $x_2=1$, e tem $a=2> 0$. Portanto, a ordenada $y$ é negativa entre as raízes e positiva, fora. Ou seja,

  \begin{eqnarray*}y=2x^2-8x+6>0 &\Leftrightarrow& x<1 \text{ ou } x>3; \\y=2x^2-8x+6<0 &\Leftrightarrow& 1<x<3; \\y=2x^2-8x+6=0 &\Leftrightarrow& x=1 \text{ ou } x=3;\end{eqnarray*}

• a parábola (ii), dada por $y=4-x^2$, se enquadra no Caso (1b): possui duas raízes reais distintas, a saber, $x_1=2$ e $x_2=-2$, e tem $a=-1< 0$. Portanto, a ordenada $y$ é positiva entre as raízes e negativa, fora. Ou seja,

  \begin{eqnarray*}y=4-x^2>0 &\Leftrightarrow& -2<x<2; \\y=4-x^2<0 &\Leftrightarrow& x<-2 \text{ ou } x>2; \\y=4-x^2=0 &\Leftrightarrow& x=-2 \text{ ou } x=2;\end{eqnarray*}

• a parábola (iii), dada por $y=x^2-2x+2$, se enquadra no Caso (3a): não possui raízes reais e tem $a=1> 0$. Portanto, a ordenada $y$ é positiva em toda reta. Ou seja,

  $$y=x^2-2x+2>0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R};$$

• a parábola (iv), dada por $y=-x^2+4x-4$ se enquadra no Caso (2b): possui apenas uma raiz real, a saber, $x_1=x_2=2$, e tem $a=-1< 0$: Portanto, a ordenada $y$ é negativa para todo $x$ diferente da raiz. Ou seja,

  \begin{eqnarray*}y=-x^2+4x-4<0 &\Leftrightarrow& x \not=2\\y=-x^2+4x-4=0 &\Leftrightarrow& x=2.\end{eqnarray*}

Fatoração de uma Expressão do Segundo Grau

Se a expressão $y=ax^2+bx+c$, $x \in \mathbb{R}$, $a$, $b$, $c$ constantes reais e $a \not=0$ é tal que $\Delta \geq 0$, podemos fatorar esta expressão como o produto de duas expressões de primeiro grau. Vamos dividir em dois casos:

1. Se $\Delta > 0$, temos duas raízes reais distintas, dadas por,
   \[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ e } x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\]

   Neste caso, com algumas manipulações algébricas temos que,

   \begin{eqnarray*}y & = & ax^2+bx+c=a\left(x + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right)= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}\\& = & a\left(x -\left( \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right)\left(x -\left( \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\right)\\& = &a\left(x -x_1\right)\left(x -x_2\right)\end{eqnarray*}
2. Se $\Delta = 0$, temos duas raízes reais iguais,
   \[x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}.\]

   Neste caso, temos que

   \begin{eqnarray*}y & = & ax^2+bx+c=a\left(x + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right)= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}\\& = & a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \\& = &a\left(x -x_1\right)^2\end{eqnarray*}

Vamos fatorar as expressões dadas pelas parábolas de (i) a (iv):

• a parábola (i), dada por $y=2x^2-8x+6$, possui duas raízes reais distintas, a saber, $x_1=3$ e $x_2=1$. Portanto,

  \begin{eqnarray*}y=2x^2-8x+6 &=& a\left(x + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right)= a\left(x -x_1\right)\left(x -x_2\right)\\&=& 2\left( x^2-4x+3\right)\\&=&2\left(x-1\right)\left(x-3\right);\end{eqnarray*}

• a parábola (ii), dada por $y=4-x^2$, possui duas raízes reais distintas, a saber, $x_1=2$ e $x_2=-2$. Portanto,

  \begin{eqnarray*}y=4-x^2 &=& a\left(x + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right)= a\left(x -x_1\right)\left(x -x_2\right)\\&=&-1\left(x^2-4\right)= -1\left(x-(-2)\right)\left(x-2\right)\\&=& -1\left(x+2\right)\left(x-2\right);\end{eqnarray*}

• a parábola (iii), dada por $y=x^2-2x+2$, não possui raízes reais. Portanto, não podemos fatorá-la (no ambiente dos números reais);

• a parábola (iv), dada por $y=-x^2+4x-4$, possui apenas uma raiz real, a saber, $x_1=x_2=2$. Portanto,

  \begin{eqnarray*}y=-x^2+4x-4 &=& a\left(x + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}\right)= a\left(x -x_1\right)^2\\&=& -\left(x-2\right)^2.\end{eqnarray*}

Sobre a Fórmula de Bhaskara

Para resolver a equação $ax^2+bx+c=0$, vamos, inicialmente, pensar em como resolvemos uma equação mais simples, que é uma equação do tipo $x^2+c=0$, isto é, a equação $ax^2+bx+c=0$, quando $a=1$ e $b=0$. Neste caso, temos que

$$x^2+c=0 \Leftrightarrow x^2=-c,$$

que terá uma única solução real, a saber, $x=0$, se $c=0$; terá duas soluções reais, a saber, $x=\pm \sqrt{-c}$, se $c<0$ (nesse caso $-c>0$) e, finalmente, não terá solução real, se $c>0$, pois se $x$ é um elemento do conjunto dos números reais, $x^2$ que é este número elevado ao quadrado, ou ainda, este número vezes ele próprio, é sempre maior do que zero ou igual a zero, nunca podendo ser negativo. Nesse caso, você deve ter aprendido que a equação só admite soluções complexas, mas o conjunto dos números imaginários não terá parte nesta revisão, que tem por objetivo prepará-lo para o cálculo de funções reais de uma variável real.

A ideia por trás dos cálculos que se seguirão é transformar a equação $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ numa equação parecida com a anterior. O que é este ``parecido''? É escrevê-la como um quadrado perfeito mais uma constante, isto é, na forma $(x+k_1)^2+k_2$, se for possível, é claro. Chamamos este processo de completar quadrados. (Ele será bastante utilizado no curso. Guarde-o com carinho!) Para tal, vamos primeiro recordar a fórmula do quadrado de uma soma: se $x$ e $k_1$ são dois números reais, então $(x+k_1)^2=x^2+2k_1x+k_1^2$ (este é o quadrado perfeito ao qual nos referimos).

Partindo da equação

\[ax^2 + bx + c = 0,\]

como $a>0$, vamos reescrevê-la como abaixo, onde colocamos $a$ em evidência,

\[a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = 0.\]

O próximo passo é tentar escrever o $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ como um quadrado perfeito mais uma constante, isto é, na forma $(x+k_1)^2+k_2=x^2+2k_1x+k_1^2+k_2$ é comparar as duas expressões ($x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ e $x^2+2k_1x+k_1^2+k_2$). Observamos que o coeficiente do termo $x^2$ de ambas é 1 e que o coeficiente do termo $x$ em uma é $2k_1$ e na outra é $\dfrac{b}{a}$. Precisamos então fazê-los iguais, i.e.

\[2k_1 = \dfrac{b}{a}\therefore k_1 = \dfrac{b}{2a}.\]

Com isso, o quadrado perfeito seria

\[\left(x+k_1\right)^2 = \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + 2\cdot \dfrac{b}{2a} x + \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + 2\cdot \dfrac{b}{2a} x + \dfrac{b^2}{4a^2}.\]

Mas isso não é igual a $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$... e agora?

E agora, é a hora que entrará o papel da constante $k_2$. Vamos trabalhar na equação que temos, qual seja,

\[a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right) = a\left(x^2 + 2\cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{c}{a}\right) =0,\]

somando e subtraindo, dentro do parênteses, um mesmo termo, no caso $ {\color{blue}\dfrac{b^2}{4a^2}}$, o que não altera a equação, mas fará nosso quadrado perfeito aparecer, conforme veremos a seguir.

Obtemos então

\[a\left(x^2 + 2\cdot \dfrac{b}{2a}x + \frac{c}{a} {\color{blue} + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2}}\right) = 0.\]

Agrupando os termos dentro dos parênteses de forma mais visual, temos

\[a\left(\left(x^2 + 2\cdot \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}\right) + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right) = 0,\]

ou, equivalentemente,

\[a\left(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} -\dfrac{b^2}{4a^2}\right) = 0.\]

Multiplicando agora o $a$ pelos termos de dentro dos parênteses, obtemos

\[a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + a\cdot\frac{c}{a} - a\cdot\frac{b^2}{4a^2} = 0,\]

ou ainda

\[a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} = 0.\]

Com isso,

\[a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c,\]

que equivale a (colocando o lado direito sobre o mesmo denominador $4a$)

\[a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a}.\]

Lembrando que $\Delta = b^2-4ac$, temos

\[a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a},\]

que, dividindo por $a$, equivale a

\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.\]

Como $4a^2$ é sempre positivo, o sinal de $\Delta$ é que determinará o sinal da fração $\dfrac{\Delta}{4a^2}$. Neste caso, temos que a equação $ax^2+bx+c=0$:

• possui duas soluções reais distintas se, e somente se, $\Delta > 0$, sendo estas

  \[x_1 = -\frac{b}{2a} +\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ e } x_2 = -\frac{b}{2a} -\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\]

  ou, escrito de forma condensada

  \[x = -\frac{b}{2a} \pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.\]

• possui duas soluções reais iguais se, e somente se, $\Delta = 0$, sendo esta

  \[x = \frac{-b}{2a}.\]

• não possui soluções reais se, e somente se, $\Delta < 0$,

Eis a razão de ser da Fórmula de Bhaskara!

P.S. O caso $a<0$ é resolvido de forma análoga, chegando-se na mesma fórmula.