Derivação das Funções Exponenciais e Logarítimicas - Introdução

Nesta semana, estudaremos a derivação da função exponencial e logarítmica, e depois os Teoremas de Rolle e do Valor Médio, e uma importante consequência deste último, a Regra de L´Hospital.

Função Exponencial

Imagine uma grandeza cuja variação se mantenha sempre em uma mesma razão a cada intervalo de tempo fixado. Por exemplo, uma população de bactérias que aumente em 50% o número de indivíduos a cada hora, ou uma amostra de material cuja massa de isótopos radioativos diminua 10% a cada ano, decaindo em isótopos não radioativos.

Funções exponenciais serão da forma

$$\begin{array}{rccl}f:& \mathbb{R}& \to & \mathbb{R}\\ & x& \mapsto & y=f(x)=a^x\end{array}$$

onde $a$ é um número real com $a>0$.

Entre as funções exponenciais, se destaca a de base $e=2.71828182846\dots$. Sendo $f(x)=e^x$, sua derivada é a própria $f$, isto é $f^{\prime }(x)={\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x=f(x)$.

Teorema do Valor Médio

Nas próximas semanas veremos como podemos estudar o comportamento das funções através do conhecimento de propriedades das suas derivadas de primeira e de segunda ordem. O que nos permite esse estudo é o Teorema de Valor Médio, que nos ajuda a entender, por exemplo, que se uma função tem derivada identicamente nula em um intervalo, então ela é constante no referido intervalo. Além disso, veremos que se o sinal da derivada de 1ª ordem for preservado em um intervalo, então a função será monótona, ou seja para sinal positivo, será estritamente crescente e se o sinal for negativo, estritamente decrescente. Outra ferramenta importante será a Regra de L'Hospital, que nos permite calcular limites, a princípio indeterminados, considerando as derivadas das funções envolvidas.

Abaixo temos $A=(a,f(a))$ um ponto sobre o gráfico da função $f$ e $A^{\prime }=(a,f^{\prime }(a))$ o ponto correspondente sobre o gráfico da função derivada $f^{\prime }$ de mesma abscissa. Mova o ponto $A$ ou a abscissa $a$ e acompanhe como a mudança no sinal da imagem $f^{\prime }(a)$ interfere no crescimento da função $f$.