Otimização - Teorema de Weierstrass
O próximo resultado é de suma importância no estudo das funções e tem generalização para funções que dependem de mais de uma variável. Também é conhecido como Teorema do Valor Extremo. Ele dará condições para garantir que uma função assuma seus valores extremos absolutos. Observe que é simples imaginar casos de funções que não têm essa propriedade. Por exemplo, $f(x)=x, x\in(0,1)$, não assume máximo e nem mínimo absolutos em $(0,1)$, já a função
\[f(x)= \begin{cases} (x-1)^2, & se \ 1<x\leq 2 \\1 , & se \ x=1. \end{cases} \]Assume máximo absoluto em $[1,2]$, mas não assume mínimo absoluto. Após a leitura do Teorema abaixo, veja o porquê das funções anteriores não assumirem seus extremos absolutos.
(Teorema de Weierstrass) Seja $f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ contínua em todo intervalo $[a,b]$. Então, a $f$ assume máximo e mínimo absolutos em $[a,b]$, ou seja, existem $c_1, c_2 \in [a,b]$, tais que $f(c_1)\leq f(x)\leq f(c_2)$, $\forall x \in[a,b]$
O Teorema 1 nos diz que qualquer função contínua em um intervalo fechado assume máximo e mínimo absolutos nesse intervalo, porém não nos diz como determinar tais pontos e nem se esses extremos globais ocorrem em vários pontos. Assim, vamos utilizar o Teorema 1 (Weierstrass) junto com o Teorema de Fermat, estudado na semana passada, para encontrar tais extremos absolutos. Acompanhe nosso raciocínio:
Vamos supor que a nossa função não é constante, pois se for, todo ponto do intervalo $[a,b]$ é simultaneamente de máximo e de mínimo absoluto. Sabemos que os extremos absolutos estão no intervalo fechado $[a,b]$ porque o Teorema 1 nos garante isso, portanto agora é só detectá-los. Cada extremo absoluto pode ser uma das extremidade do intervalo $[a,b]$ ou pertencer a $(a,b)$, o interior do intervalo. Se tal ponto estiver em $(a,b)$, então será um extremo local também e portanto pelo Teorema de Fermat um ponto crítico. Desta forma, delimitamos o conjunto onde devemos procurar os extremos absolutos, ou seja, teremos um conjunto ``menor'' do que todo o intervalo $[a,b]$, que, em geral, é formado por um número finito de pontos, onde podemos calcular as imagens da $f$ e comparar esses valores para saber quais são o maior e o menor valor. Vamos denotar esse conjunto de teste por $T$, observe que $T=\{a,b, \text{pontos críticos da função} \ f\}$. Ressaltamos que os pontos do conjunto $T$ são candidatos a extremos absolutos, porém pode haver pontos ali que não são extremos, nem mesmo extremos locais!
Determine os extremos absolutos da função $f(x)=3x^4-16x^3+18x^2, \ x \in [-1,4]$. Justifique a existência desses pontos.
Os extremos absolutos existem e são assumidos pela função, pelo Teorema 1, já que se trata de uma função polinomial, portanto contínua em qualquer intervalo. Os pontos críticos são do tipo $f'(x)=0$, pois a $f$ também é derivável em seu domínio:
$$f'(x)=12x^3-48x^2+36x=0 \Leftrightarrow x=0, \ x=1, \ \text{ou} \ x=3.$$O conjunto de teste, mencionado acima, é dado por $T=\{-1,4,0,1,3\}$. Testando os valores na função $f$, temos
$f(-1)=37$ (Maior valor assumido pela $f$)
$f(4)=32$
$f(0)=0$
$f(1)=5$
$f(3)=-27$ (Menor valor assumido pela $f$)
Portanto, o ponto de máximo absoluto no gráfico da função é $(-1,37)$ e o de mínimo absoluto $(3,-27).$
Determine os extremos absolutos da função $f(x)=3\sqrt[3]{x}-x, \ x \in [-8,8]$. Justifique a existência desses pontos.
Os extremos absolutos existem e são assumidos pela função, pelo Teorema 1, já que se trata de uma função contínua em qualquer intervalo da reta real. Os pontos críticos podem ser de dois tipos, já que a $f$ não é derivável em $x=0$. Vejamos se a derivada se anula em algum ponto $x\neq0$ em $(-8,8)$:
$$f'(x)=\dfrac{1}{x^{2/3}}-1=\dfrac{1-x^{2/3}}{x^{2/3}}=0 \Leftrightarrow x=1, \ \text{ou} \ x=-1, \text{que pertencem ao intervalo} (-8,8).$$O conjunto de teste, mencionado acima, é dado por $T=\{-8,8,0,1,-1\}$. Testando os valores na função $f$, temos
$f(-8)=2$ (Maior valor assumido pela $f$)
$f(8)=-2$ (Menor valor assumido pela $f$)
$f(0)=0$
$f(1)=2$ (Maior valor assumido pela $f$)
$f(-1)=-2$ (Menor valor assumido pela $f$)
Portanto, há dois pontos de máximo absolutos no gráfico da função, são eles $(-8,2)$ e $(1,2)$ e dois de mínimo absolutos $(8,-2)$ e $(-1,-2).$
Após a ingestão de um comprimido de um antibiótico, a concentração do remédio na corrente sanguínea é modelada pela função
$$C(t)=8\left(e^{-0,4t}-e^{-0,6t}\right),$$onde o tempo $t$ é medido em horas e $C$ é medido em $\mu g/ml$. Qual é a concentração máxima de antibiótico durante as primeiras 12 horas?
Vamos encontrar os extremos absolutos da função $C(t)$, para $t \in [0,12]$. A existência desses pontos é garantida pelo Teorema 1.
Os pontos críticos são do tipo $C'(t)=0$, já que a função é derivável em seu domínio. Então,
Como $C(0)=0$, $C(12)\approx 0,06$ e $C(5\ln(1,5))\approx 1,19$, a concentração máxima de antibiótico ocorre em aproximadamente $2$ horas.
Observação: No Teorema 1 o intervalo tem que ser fechado e a função deve ser contínua em todo o ponto de $[a,b]$, caso alguma dessas hipóteses falhe, a tese do Teorema não poderá ser garantida, como vimos nos casos expostos na introdução desta seção.
O estudo de máximos e mínimos de funções tem várias aplicações a muitas situações do nosso cotidiano, o dono de uma empresa quer sempre minimizar custos e maximizar o lucro, como vimos acima, saber quando a concentração de um medicamento no sangue é máxima é importante para um farmacologista, na natureza encontramos exemplos de colmeias de abelhas que são construídas de forma a minimizar a quantidade de cera na construção. Chamamos esses problemas de Problemas de Otimização, pois estaremos interessados em encontrar os valores que tornam determinada grandeza a melhor possível, mínima ou máxima, dependendo do contexto, o que é encontrar o valor ótimo em cada situação. A seguir veremos alguns exemplos simples destes problemas, na próxima semana veremos exemplos mais elaborados.
Vamos determinar as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito em uma semicircunferência de raio $r$. Existe o retângulo de área mínima?
Primeiro, pensamos no retângulo inscrito na semicircunferência de raio $r$ e ambos em um sistema de coordenadas cartesianas, onde a semicircunferência está centrada na origem, para facilitar os cálculos. Por simetria, podemos considerar o problema no 1º quadrante e dobrar o valor da área, observe a figura a seguir. Assim, a semicircunferência é a imagem de $y=\sqrt{r^2-x^2}, -r\leq x \leq r$ e a área do retângulo, considerando o 1º quadrante, é dada pela função
$$A(x)=2x\sqrt{r^2-x^2}, \ 0<x<r $$$$A'(x)=2\sqrt{r^2-x^2}-\dfrac{2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}=\dfrac{2r^2-4x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}, \ 0<x<r$$ $$A'(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{r\sqrt{2}}{2}; \ A'(x)>0 \Leftrightarrow 0<x<\frac{r\sqrt{2}}{2}; \ A'(x)<0 \Leftrightarrow \frac{r\sqrt{2}}{2}<x<r$$
Portanto, em $x=\frac{r\sqrt{2}}{2}$ a área tem máximo local e absoluto (pois é crescente antes desse ponto e decrescente após, sendo uma função contínua em $(0,r)$). Assim, um dos lados do retângulo (todo) de área máxima mede $2x=2\dfrac{r\sqrt{2}}{2}=r\sqrt{2}$ e o outro lado mede $y=\sqrt{r^2-\left(\frac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{r\sqrt{2}}{2}$.
Observe que pelo comportamento da área, não existe um retângulo de área mínima, esse valor mínimo da área ocorreria em $x=0$ e $x=r$, mas nesse caso a área é zero, pois não formamos retângulo. Por isso, neste problema consideramos o intervalo aberto, mas poderíamos ter fechado o intervalo e usado o Teorema 1 para encontrar o máximo absoluto e veríamos que o mínimo absoluto ocorre quando $x=0$ ou $x=r$.
Retângulo inscrito na semicircunferência do Exemplo 4; $P=(x,\sqrt{r^2-x^2})$
Um fazendeiro quer cercar uma área de $15 000 m^2$ em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como ele deve fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?
Chamando de $x$ um dos lados e de $y$ o outro (veja a figura a seguir) temos que a área do campo é dada por:
$$15000=xy \Rightarrow y=\dfrac{15000}{x}(*), \ \text{para } x>0.$$O comprimento total da cerca é $3x+2y$, então substituindo (*) na expressão do comprimento, obtemos uma função de $x$, que queremos minimizar, ou seja,
$$C(x)=3x+\dfrac{30 000}{x}, \ x>0.$$Derivando, temos
$$C'(x)=3-\dfrac{30 000}{x^2}=\dfrac{3x^2-30 000}{x^2}, \ x>0.$$Agora, para estudar o sinal da derivada, basta ver o sinal da função quadrática do numerador para $x>0$, pois o denominador é positivo. Então,
$$C'(x)=0 \Leftrightarrow x=100; \ C'(x)>0 \Leftrightarrow x>100; \ C'(x)<0 \Leftrightarrow 0<x<100.$$Portanto, $x=100$ é ponto de mínimo local e absoluto para o comprimento da cerca (há um único extremo local, a função é contínua e o domínio é um intervalo). As dimensões são $x=100 m$, $y=15000/100=150 m$, portanto o custo mínimo para construir a cerca será quando o comprimento for mínimo e igual a $C(100)=300+30000/100=600 m$. Um bom exercício agora é esboçar o gráfico de $C(x)$ para você ver como a função se comporta.
Campo retangular do Exemplo
Uma lata cilíndrica com tampa deve ser confeccionada para receber $1$ litro de óleo. Encontre as dimensões que tornam mínimo o custo do material para produzir a lata.($1$ litro corresponde a $1000 \ cm^3$.)
O raio da lata cilíndrica será denotada por $r$ e sua altura por $h$. Precisamos considerar a área total da superfície, ou seja, somamos as áreas do fundo, tampa e lateral, obtemos $2\pi r^2+2\pi rh$. Essa área será minimizada a fim de obtermos o custo mínimo. Porém, antes, vamos usar o fato de que o volume está fixado em $1000 \ cm^3$, a fim de obtermos uma relação entre a altura e o raio, o que vai nos permitir eliminar uma das variáveis na expressão da área e considerar uma função de uma única variável:
$$1000=\pi r^2h \Rightarrow h=\dfrac{1000}{\pi r^2} \Rightarrow $$ $$A(r)=2\pi r^2+2\pi r\left(\dfrac{1000}{\pi r^2}\right)=2\pi r^2+ \left(\dfrac{2000}{r}\right), \ r>0$$Derivando $A(r)$, obtemos
$$A'(r)=4\pi r- \left(\dfrac{2000}{r^2}\right)=\left(\dfrac{4\pi r^3-2000}{r^2}\right)$$Mas, a única raiz de $A'(r)$ é $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$, além disso, $A'(r)>0 \Leftrightarrow r>\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$ e $A'(r)<0 \Leftrightarrow 0<r<\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$. Portanto, a função área será estritamente decrescente em $\left(0,\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\right)$ e estritamente crescente em $\left(\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}},+\infty\right)$, logo $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$ será um ponto de mínimo local e absoluto da área da superfície do cilindro. As dimensões que nos dão o custo mínimo são
$$r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \ \ e \ \ h=\dfrac{1000}{\pi r^2}=\dfrac{1000}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\right)^2}= 2\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}$$
Lata cilíndrica com tampa Exemplo