Funções Reais a uma Variável Real
As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por exemplo, descrever o ritmo cardíaco, crescimento populacional, variações de temperatura, movimento de objetos, evolução de uma epidemia, custos e lucros de uma empresa, oscilações do solo num terremoto, entre muitas outras coisas. A noção de função é a principal ferramenta para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, pois constitui o ambiente no qual o Cálculo é desenvolvido.
Dentre as funções mais importantes, destacamos as polinomiais, as funções racionais, as funções raízes, as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Nessa disciplina, vamos estudar um pouco de cada uma delas.
O Conceito de Função
As funções surgem quando uma quantidade (variável dependente) depende de outra (variável independente). Observe os exemplos:
- A temperatura $T$ da água numa panela que é colocada para ferver depende do tempo transcorrido $t$. Assim, nessa situação $T$ é a variável dependente e $t$ a variável independente.
- A área $A$ de um círculo depende de seu raio $r$ e essa dependência se expressa através da fórmula bem conhecida $A=\pi r^2$. Neste caso, $A$ é variável dependente e $r$ é a variável independente.
- A população humana mundial $P$ depende do tempo em anos $t$ e pode ter uma representação aproximada utilizando uma tabela. Como $P$ varia em função do tempo $t$, $P$ é a variável dependente e $t$ é a variável independente
Ano População (bilhões) 1900 1,650 1910 1,750 1920 1,860 1930 2,070 1940 2,300 1950 2,560 1960 3,040 1970 3,710 1980 4,450 1990 5,280 2000 6,080 2010 6,900 2020 7,790 - O cardiologista avalia o ritmo cardíaco de um indivíduo através do eletrocardiograma. Esse gráfico mostra a variação do potencial elétrico (variável dependente) em relação ao tempo decorrido durante o exame (variável independente) e gera uma imagem em ondas, cujo padrão determina a condição cardíaca do paciente.
Eletrocardiograma - Um modelo matemático simples para calcular a dinâmica da propagação de uma virose é o da curva exponencial. E como um gráfico de uma epidemia se comporta? No início a evolução é lenta. Uma pessoa saudável, quando entra em contato com uma pessoa doente, torna-se infectada também. O número de pessoas doentes aumenta rapidamente à medida que a virose se espalha. No gráfico, esse fenômeno é a chamada fase de crescimento exponencial, que se caracteriza por um tempo de crescimento acelerado (Figura 2). Mas, o crescimento de uma epidemia não é permanente. Depois, em algum ponto, a curva do gráfico começa a crescer de forma mais lenta, depois que uma população grande já foi infectada e, eventualmente, começa a decrescer. Essa curva toma a forma de um sino (Figura 3) ou um "s".
Figura 2 - Casos Acumulados de Covid-19 no Brasil em 2020 (fase exponencial). Fonte: https://covid.saude.gov.br
Figura 3 - Projeção da evolução da Covid 19
Em todos os casos acima temos uma associação que a cada valor da variável independente (tempo ou raio), atribui um único valor à variável dependente (Temperatura, Área, População, Potencial Elétrico ou Número de infectados). Essa situação constitui o que chamamos de função, cuja definição matemática é a seguinte :
Definição 1Uma função de um conjunto $A\subset\mathbb{R}$ para outro conjunto $B\subset \mathbb{R}$ é uma regra (lei) que a cada elemento $x\in A$ associa um único elemento $y\in B$.
Costuma-se denotar uma função por letras como $f$ (ou $g,h,T,u,...$). E a seguinte notação, devida a Euler é utilíssima $y=f(x)$ (Lê-se "$y$ é igual a $f$ de $x$"). Outra maneira de denotar uma função é $f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow B\subset\mathbb{R}$ ou ainda
\[\begin{array}{cccc}f : & \! A & \! \longrightarrow &\! B \\ & \! x & \! \longmapsto & \! f(x).\end{array}\]O conjunto $A$ é dito o domínio da função $f$, também denotado por $\mathrm{D}(f)$, e $B$ é dito seu contradomínio. Assim, uma função é formada por três elementos, a lei de formação, o domínio e o contradomínio.
No exemplo do applet abaixo, temos uma função de domínio $\mathbb{R}$ e contradomínio também $\mathbb{R}$. Para todo $x\in\mathbb{R}$, há único $y$ associado a ele, que denotaremos $y=f(x)$.
Observações:
- De um modo geral, uma função associa a cada elemento de um conjunto (não necessariamente de números reais), um único elemento de outro conjunto através de uma regra de associação, como as que vimos acima. No curso de Cálculo 1A, nossos conjuntos serão de números reais. Portanto, a definição matemática que demos acima de função, já foi apresentada para o caso específico de funções reais de variáveis reais. Neste texto, estamos abusando um pouco da linguagem. Formalmente a definição de função deveria ser uma terna $(A,B, a \mapsto b)$, onde $A$ e $B$ são conjuntos e $a \mapsto b$ uma regra que a cada elemento $a \in A$ associa um único elemento $b \in B$.
Para ser considerada função, a lei deve ser capaz de associar a cada elemento do domínio um único elemento do contradomínio. Se houver ambiguidade na associação, a lei não é considerada uma função. Uma forma clássica de representar essa ideia é através de diagramas de flechas :
Nem toda relação entre elementos de conjuntos é uma função. Por exemplo, no applet abaixo, a relação entre $x \in [1,+\infty)$ e $y \in \mathbb{R}$ dada por $y^2−x+2y=0$ não define uma função. Mova o ponto $x$ para perceber que, para $x>-1$, existem dois valores diferentes de $y \in \mathbb{R}$ associados ao $x$, isto é, satisfzendo $y^2−x+2y=0$. Desta forma, $y$ não é único, portanto $y$ não é dado em função de $x$.
Alguns exemplos básicos de funções
A função $f(x)=bx+c$, $x\in \mathbb{R}$, onde $b$ e $c$ são constantes reais. Ou seja, qualquer expressão do 1º grau pode ser vista como uma função real de variável real. Esse tipo de função é chamada de Função Afim}.
A função $f(x)=x^2$, $x\in \mathbb{R}$. Em geral, qualquer expressão do 2º grau, do tipo $f(x)=ax^2+bx+c, x\in \mathbb{R}$, onde $a$, $b$ e $c$ são constantes reais, $a\neq0$, pode ser vista como uma função real de variável real, dita Função Quadrática
As Funções Polinomiais, em geral, se escrevem como
\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_1x+a_0, \;\;x\in\mathbb{R},\]onde $n$ é um inteiro não negativo e $a_n,\ldots,a_0$ são constantes reais. Estas são funções definidas em toda a reta real $\mathbb{R}$. Para, $n=1$ temos uma função afim, $n=2$ temos uma função quadrática, vistas nos exemplos anteriores e, para $n=3$, a função é dita uma Função Cúbica.
As Funções Racionais são aquelas formadas por um quociente de polinômios, digamos, $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ e, neste caso, o domínio depende das raízes do polinômio do denominador, ou seja, $\mathrm{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}; q(x) \neq0 \}$. O domínio da $f$ é o conjunto dos reais, exceto as raízes de $q(x)$, que zeram o denominador, gerando uma divisão por 0, que sabemos não estar definida no conjunto dos números reais. Casos particulares de funções racionais:
- $f(x)=\dfrac{x+1}{2x^2+5}$, $x\in\mathbb{R}$ (Note que $2x^2+5>0, \forall x\in\mathbb{R}$).
- $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-x}$, $x\in \mathbb{R}\backslash \{0,1\}$, pois o denominador se anula quando $x=0$ ou $x=1$.
Observações:
- Lembramos que a raiz quadrada de um número real $a>0$ é definida como o número real denotado por $\sqrt{a}$, também positivo, tal que $(\sqrt{a})^2=a$ e raiz quadrada de 0 é 0.
- Lembramos que a raiz cúbica de um número real $a\in\mathbb{R}$ é definida como o número real denotado por $\sqrt[3]{a}$, tal que $(\sqrt[3]{a})^{3}=a$ e raiz cúbica de 0 é 0. No caso de raiz de índice ímpar, a raiz tem o mesmo sinal do radicando $a$.
A função Raiz Quadrada $f(x)=\sqrt{x}$, $x\geq0$. Para ser uma função real, o maior domínio que podemos ter para a função raiz quadrada é o intervalo $[0,+\infty)$. Além disso, dado $x\geq0$, está associado a ele um e só um número real positivo ou nulo, a saber $\sqrt{x}$, tal que o produto $\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x$.
A função Raiz Cúbica $f(x)=\sqrt[3]{x}$, $x\in \mathbb{R}$. Para ser uma função real, o maior domínio que podemos ter para a função Raiz Cúbica é toda a reta $\mathbb{R}$. Além disso, dado $x\in \mathbb{R}$, está associado a ele um e só um número real, a saber $\sqrt[3]{x}$, tal que o produto $\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{x}=x$.
Uma observação importante
Muitas vezes, por simplicidade de linguagem (na verdade, abuso de linguagem!) não especificamos o domínio e o contradomínio de uma função ao apresentá-la, apenas sua expressão. Nestes casos, adotaremos a convenção abaixo.
Quando uma função for definida através de uma expressão, sem referência ao contradomínio, estaremos supondo que o contradomínio é $\mathbb{R}$. De forma análoga, se apresentarmos a expressão de uma função e perguntarmos sobre seu domínio, estaremos supondo que o domínio é o maior subconjunto de $\mathbb{R}$, onde a expressão está bem definida (pode ser calculada e nos fornece valores reais para $y$).
A função $f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2}$ tem como domínio $\mathrm{D}(f)=[-3,2)\cup (2,+\infty)$ e contradomínio $\mathbb{R}$. De fato, para estar bem definida no conjunto dos reais, devemos ter, $x+3\geq0$ e $x-2\neq0$, portanto $x\geq-3$ e $x\neq2$, donde $\mathrm{D}(f)=[-3,2)\cup (2,+\infty)$.
A função $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1-x}$ tem como domínio $\mathrm{D}(f)=(0,1]$ e contradomínio $\mathbb{R}$, pois nesse caso, devemos ter $x>0$, já que há uma raiz quadrada no denominador e $1-x\geq0$, por conta da segunda raiz. Portanto, $x>0$ e $x\leq 1$, significa que $\mathrm{D}(f)=(0, +\infty) \cap (-\infty,1]=(0,1]$.
A função $f(x)= \sqrt{x^2-7x+6}$ tem como domínio $\mathrm{D}(f)=(-\infty,1]\cup[6,+\infty)$ e contradomínio $\mathbb{R}$. De fato, nesse caso, devemos ter $x^2-7x+6\geq0$, já que há uma raiz quadrada. Calculando as raízes da equação $x^2-7x+6=0$, obtemos $x_1=1$ e $x_2=6$. Estudando o sinal da expressão do 2º grau, cuja parábola associada tem concavidade para cima, segue que $x^2-7x+6>0$, se e somente se, $x<1$ ou $x>6$. Portanto, $\mathrm{D}(f)=(-\infty,1]\cup[6,+\infty)$.
A função $f(x)=\sqrt{\dfrac{9-x^2}{x+1}}$ tem como domínio $\mathrm{D}(f)=(-\infty,-3]\cup(-1,3]$ e contradomínio $\mathbb{R}$. De fato, devemos ter $x+1\neq0$ e fazer o produto dos sinais entre $9-x^2$ e $x+1$, conforme a seguinte tabela de sinal:
| $(-\infty,-3)$ | $-3$ | $(-3,-1)$ | $-1$ | $(-1,3)$ | $3$ | $(3,+\infty)$ | |
| $9-x^2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $ -$ |
| $ x+1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $\dfrac{9-x^2}{x+1}$ | $+$ | $0$ | $ -$ | $\nexists$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Assim, teremos que $\mathrm{D}(f)=(-\infty,-3]\cup(-1,3]$.
Duas funções $f$ e $g$ são iguais, escrevemos $f=g$, se e só se $\mathrm{D}(f)=\mathrm{D}(g)$, possuem o mesmo contradomínio e $f(x)=g(x)$, $\forall x\in \mathrm{D}(f)$.
$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\;$ e $\;g(x)=x+1$ são funções diferentes.
Como $\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, \forall x\neq1$, em uma primeira abordagem, você pode achar que estas duas funções são iguais, mas, repare que embora tenham a mesma imagem em cada ponto de $\mathbb{R}\backslash\{1\}$, as duas têm domínios diferentes! Temos $\mathrm{D}(f)=\mathbb{R}\backslash \{1\}\neq \mathbb{R}$ e $\mathrm{D}(g)=\mathbb{R}$.
O que ocorre é o seguinte: as duas funções são diferentes, porém possuem a mesma imagem em cada ponto de $\mathrm{D}(f)=\mathbb{R}\backslash\{1\}$, isto é $f(x)=g(x), \forall x \in \mathrm{D}(f)=\mathbb{R}\backslash \{1\}$.
$f(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}\;$ e $\;g(x)=x^2-1$ são funções iguais, pois $\mathrm{D}(f)=\mathrm{D}(g)=\mathbb{R}$, o contradomínio é o mesmo e fatorando o numerador e cancelando, obtemos a igualdade nas imagens, ponto a ponto:
$$\dfrac{x^4-1}{x^2+1}=\dfrac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}=x^2-1 \text{, } \forall x\in \mathbb{R}$$.