Você consegue se lembrar das razões trigonométricas no triângulo retângulo?

Estas razões estão definidas para um ângulo $B$ de medida $0^{\circ} < \hat{B} < 90^{\circ}$ .
Há três ângulos cujas razões trigonométricas são muito especiais, $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ e $60^{\circ}$ .

Considerando o quadrado de lado $b$ da figura à esquerda e traçando sua diagonal $B C$ , temos $c = b$ e $a = \sqrt{2} B$ . Assim,

sen (45^{\circ}) = \frac{b}{a} = \frac{b}{\sqrt{2} b} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

\cos (45^{\circ}) = \frac{c}{a} = \frac{b}{\sqrt{2} b} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

tg (45^{\circ}) = \frac{b}{c} = \frac{b}{b} = 1.

Considerando o triângulo equilátero $B D C$ de lado $a$ da figura à esquerda, traçando sua altura $A C$ , temos $c = \frac{a}{2}$ e $b = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Assim, olhando para o ângulo $\hat{B} = 60^{\circ}$ ,

sen (60^{\circ}) = \frac{b}{a} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} .

\cos (60^{\circ}) = \frac{c}{a} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} .

tg (60^{\circ}) = \frac{b}{c} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3} .

Olhando agora para o ângulo $\hat{C} = 30^{\circ}$ ,

sen (30^{\circ}) = \frac{c}{a} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} .

\cos (30^{\circ}) = \frac{b}{a} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} .

tg (30^{\circ}) = \frac{c}{b} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} .

Hoje, você verá que estas razões trigonométricas podem ser estendidas à funções de domínio

R

. Para isso, precisaremos sair de um triângulo retângulo, onde os ângulos são limitados ao domínio

(0^{\circ}, 90^{\circ})

.
Também deixaremos de trabalhar com os ângulos medidos em graus e adotaremos uma forma mais natural de expressar ângulos, que, na verdade, passarão a ser arcos.

O Círculo Trigonométrico

Você poderá experimentar os conceitos desta seção e da próxima no applet abaixo:

Vamos inciar considerando o círculo de centro em

(0, 0)

e raio 1, da figura abaixo. Considere também o ponto

A = (1, 0)

Escolha agora um número real

t > 0

. O comprimento do segmento de extremos

(0, 0)

(t, 0)

, esboçado abaixo em azul, é

t

. Considere, sobre o círculo, o arco de comprimento

t

, desenhado a partir de

A

e percorrendo o círculo no sentido anti-horário, como na figura abaixo. Chame de

P (t)

o outro extremo deste arco.

Uma observação importante é que como o raio deste círculo é

r = 1

, o comprimento deste círculo inteiro será dado por

2 π \cdot r = 2 π

. Com isso, temos nas figuras abaixo os pontos

P (π / 2)

P (π)

P (3 π / 2)

P (2 π)

Também podemos ter

t < 0

. Neste caso, será percorrido um arco de comprimento

| t |

, também a partir de

A = (1, 0)

, porém no sentido horário.

Para marcar alguns destes pontos, lembre

2 π

corresponde ao círculo inteiro, logo

π

corresponde a meio círculo,

π / 2

a um quarto,

π / 3

a um sexto e

π / 6

a um doze-avos.
Alguns pontos foram escritos como correspondentes a mais de um valor de

t

. Na verdade, todos poderiam ter sido escritos assim. Podemos chegar a qualquer ponto do círculo partindo de

A = (1, 0)

e percorrendo o círculo no sentido horário ou anti-horário. Na verdade, cada ponto pode ser atingido percorrendo o círculo com infinitos arcos diferentes, basta ficarmos dando muitas voltas.
Cada volta completa no círculo, seja no sentido horário ou anti-horário, nos levará ao mesmo ponto de partida. Assim, todos os arcos de comprimento

2 k π

, com

k

inteiro, percorridos a partir de

A

nos levam... de volta ao próprio ponto

A

. Assim, para todo

k \in Z

De maneira geral, se a diferença entre o comprimento de dois arcos é um número inteiro de voltas, isto é, se eles têm comprimentos

t

t + 2 k π

, com

k \in Z

, os arcos terminarão no mesmo lugar, isto é,

Seno e Cosseno de

t \in R

Você poderá experimentar os conceitos desta seção e da anterior no applet abaixo:

Considerando o número real

t

e o ponto

P (t)

correspondente a ele, como vimos na seção anterior, definimos o cosseno e seno de

t

respectivamente por

Como as coordenadas de

P (t)

são

x = \cos (t)

y = sen (t)

, e como sabemos que este círculo é o conjunto dos pontos

(x, y)

satisfazendo

x^{2} + y^{2} = 1

, teremos então

que é chamada de relação trigonométrica fundamental.
Podemos também observar que, como o raio do círculo é 1,

Observando os pontos do primeiro quadrante, e os ângulos centrais de

30^{\circ}

40^{\circ}

, e

60^{\circ}

que formam, vemos que

Observando agora os pontos

P (0)

P (π / 2)

P (π)

P (3 π / 2)

, temos

Na figura abaixo, você pode ver que os pontos

P (t)

P (- t)

são simétricos em relação ao eixo

x

, pois são atingidos percorrendo arcos de mesmo tamanho, porém em direções opostas.

A diferença entre os arcos correspondentes a

t

t + π

é de

π

, que corresponde a meia volta no círculo. Portanto, os pontos

P (t)

P (t + π)

são simétricos, como podemos ver na figura abaixo.

Algumas Relações Importantes

Duas relações muito importante, mas que não demonstraremos aqui, são as que nos dão seno e cosseno da soma de dois arcos:

Há pessoas que gostam também de "decorar" outras duas relações, para a diferença entre dois arcos. Mas nós não precisamos, pois elas seguem como consequência do que já vimos:

Na verdade, as pessoas gostam muito de "decorar fórmulas", o que é bem estranho...
Seguindo aplicando as relações da soma de arcos para

a = b = x

, temos ainda que

Outra relação muito importante, também decorrente da relação da soma do seno, é que

Portanto, o cosseno de

x

tem exatamente o mesmo valor que o seno assumirá em um arco

π / 2

maior que

x

Exemplo 1

Calcule $\cos (\frac{5 π}{12})$ .

Solução

\frac{π}{4} + \frac{π}{6} = \frac{2 π + 3 π}{12} = \frac{5 π}{12},

logo

\begin{array}{rcl} \cos (\frac{5 π}{12}) & = & \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{6}) \\ = & \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - sen (\frac{π}{4}) sen (\frac{π}{6}) \\ = & \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\ = & \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \\ = & \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{array}

A chave neste exemplo é perceber que $\frac{5 π}{12} = \frac{π}{4} + \frac{π}{6}$ . Mas como perceber isso? Pode ajudar se você pensar em graus:

\frac{5 π}{12} corresponde a \frac{5}{12} \cdot 180^{\circ} = 5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}, que corresponde a \frac{π}{4} + \frac{π}{6} .

As Funções Seno e Cosseno

Para cada

x \in R

, definimos na seção anterior

sen (x)

\cos (x)

. Assim, temos duas funções

sen : R \to R

\cos : R \to R

, com algumas propriedades que já deduzimos na sessão anterior.

Proposição 1

As funções $sen : R \to R$ e $\cos : R \to R$ satisfazem às seguintes propriedades

$\cos (x) = \cos (- x)$ , ou seja, o cosseno é uma função par.
$sen (- x) = - sen (x)$ , ou seja, o seno é uma função ímpar.
$\cos (x + 2 π) = \cos (x)$ e $sen (x + 2 π) = sen (x)$ , ou seja, cosseno e seno são funções periódicas, com período $2 π$ .
$- 1 ⩽ \cos (t) ⩽ 1$ e $- 1 ⩽ sen (t) ⩽ 1$ .
$\cos (x) = sen (x + \frac{π}{2})$

O gráfico de

sen

é o conjunto dos pontos da forma

(x, sen (x))

. Podemos construir este gráfico a partir da definição do seno. Para

x \in R

, consideramos o ponto

P (x)

correspondente no círculo, que terá coordenadas

(\cos (x), sen (x))

. O ponto

(x, sen (x))

do gráfico, possui, portanto a mesma coordenada

y

que

P (x)

, estando portanto na mesma reta horizontal. Mas este ponto

(x, sen (x))

também está na mesma reta vertical que

(x, 0)

, logo, é a interseção das retas que passam por

P (x)

(x, 0)

Você pode experimentar uma construção do gráfico, como acima, no applet abaixo:

Observe que os valores máximo e mínimo são 1 e

- 1

e que as raízes são os pontos da forma

k π

, com

k \in Z

. Já vimos que o cosseno de

x

tem exatamente o mesmo valor que o seno assumirá em um arco

π / 2

maior que

x

. Por exemplo, teremos

\cos (0) = sen (π / 2)

\cos (π / 2) = sen (π)

, etc. Se estivéssemos falando do estudo de um fenômeno, no qual

x

é o tempo, poderíamos dizer que o cosseno "acontece"

π / 2

segundos antes do seno. Com isso, seu gráfico é o mesmo do seno, apenas "antecipado" de

π / 2

unidades em

x

Na próxima seção, veremos que o gráfico do cosseno é obtido por uma translação no gráfico do seno.

Exemplo 2

Determine os valores de $x \in R$ para os quais

\cos (x) = \frac{1}{2} .

Solução

Há apenas dois pontos no círculo cuja coordenada horizontal (o cosseno) é igual a $\frac{1}{2}$ . O primeiro destes pontos é o correspondente ao arco de $\frac{π}{3}$ (que corresponde ao ângulo central de $60^{\circ}$ ). O outro ponto, com a mesma coordenada horizontal, é o simétrico ao primeiro com relação ao eixo $x$ . Este ponto é o correspondente ao arco de $- \frac{π}{3}$ .

Assim, a equação é satisfeita por $x = \frac{π}{3}$ e por $x = - \frac{π}{3}$ , mas estes não são os únicos valores de $x$ que tornam válida a igualdade. Qualquer outro valor $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{3} + 2 k π$ , com $k \in Z$ , corresponderá a um dos dois pontos do círculo acima, logo também terão cosseno igual a $\frac{1}{2}$ .
Assim,

\cos (x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + 2 k π ou x = - \frac{π}{3} + 2 k π, com k \in Z .

Exemplo 3

Determine os valores de $x \in R$ para os quais

sen (x) ⩾ \frac{\sqrt{2}}{2} .

Solução

Há apenas dois pontos no círculo cuja coordenada vertical (o seno) é igual a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Estes pontos são os correspondentes aos arcos de $\frac{π}{4}$ e o $\frac{3 π}{4}$ .

Como o seno é dado pela coordenada vertical de um ponto do círculo, os pontos cujo seno é maior ou igual a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ são aqueles acima da reta $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ou na reta. O conjunto destes pontos estão representados na figura abaixo:

Estes pontos correspondem aos arcos de comprimento $\frac{π}{4} ⩽ x ⩽ \frac{3 π}{4}$ . Assim,

sen (x) ⩾ \frac{\sqrt{2}}{2} para todo x \in [\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}] .

Porém, estes não são os únicos arcos que satisfazem a desigualdade. Qualquer arco de comprimento $x$ com $\frac{π}{4} + 2 k π ⩽ x ⩽ \frac{3 π}{4} + 2 k π$ , com $k \in Z$ , também corresponderá a um dos pontos destacados na figura (serão dadas $k$ voltas e depois percorrido um arco que terá extremo no conjunto destacado). Assim,

sen (x) ⩾ \frac{\sqrt{2}}{2} para todo x \in [\frac{π}{4} + 2 k π, \frac{3 π}{4} + 2 k π], com k \in Z .

As Funções Tangente e Cotangente

Agora, vamos considerar a reta

r : x = 1

, tangente ao círculo. Dado

t \in R

, tomamos o ponto

P (t)

, como antes. A reta que passa por

(0, 0)

P (t)

cortará a tangente

r

em um ponto

T

. Definiremos a tangente de

t

, representada por

tg (t)

, como sendo a coordenada

y

do ponto

T

. Veja abaixo.

Você pode experimentar uma construção da tangente e seu gráfico no applet abaixo:

Pela semelhança entre os triângulos retângulos

O B P (t)

O A T

da figura abaixo, temos

\frac{\overset{―}{A T}}{\overset{―}{B P (t)}} = \frac{\overset{―}{O A}}{\overset{―}{O B}},

Como $\overset{―}{A T} = tg (t)$ , $\overset{―}{B P (t)} = sen (t)$ , $\overset{―}{O A} = 1$ e $\overset{―}{O B} = \cos (t)$ , temos

\frac{tg (t)}{sen (t)} = \frac{1}{\cos (t)},

logo

tg (t) = \frac{sen (t)}{\cos (t)} .

Um detalhe sobre a tangente é que ela não está definida para todo

t

. Se, por exemplo,

t = π / 2

, o ponto

P (t)

estará sobre o eixo

y

e, portanto, a reta

O P (t)

não intersectará a reta

x = 1

, portanto não existirá o ponto

T

e a tangente. Isto acontecerá sempre que

P (t)

estiver sobre o eixo

y

, ou seja, quando

t

for

- π / 2, π / 2, 3 π / 2, 5 π / 2

ou mais geralmente, qualquer valor da forma

π / 2 + k π

, com

k \in Z

. Isto é, quando

t

for

π / 2

mais qualquer número de mais-voltas.
E, como as equações não mentem jamais, a expressão que deduzimos para a tangente,

tg (t) = \frac{sen (t)}{\cos (t)}

, também não está definida para tais valores de

t

, pois, para

t

na forma

π / 2 + k π

k \in Z

, teremos

\cos (t) = 0

.
Assim, a tangente determina uma função real

tg

de domínio dado por

{x \in R : x \neq \frac{π}{2} + k π, \forall k \in Z}

, isto é, uma função

O gráfico da tangente é como abaixo. Repare que suas raízes são as mesmas da função

sen

e que ela não está definida para os valores de

x

nos quais

\cos (x) = 0

Proposição 2

A função $tg : {x \in R | x \neq \frac{π}{2} + k π, \forall k \in Z} \to R$ tem as seguintes propriedades:

$tg (- x) = - tg (x)$ , ou seja, $tg$ é uma função ímpar.
$tg (a + b) = \frac{tg (a) + tg (b)}{1 - tg (a) tg (b)}$ , quando $tg (a + b)$ estiver definida.
$tg (x + π) = tg (x)$ , logo $tg$ é uma função de período $π$ .

Podemos concluir estas propriedades a partir do que já sabemos sobre as funções seno e cosseno. Temos

Com esta relação, e lembrando que

tg (0) = \frac{sen (0)}{\cos (0)} = \frac{0}{1} = 0

, deduzimos a terceira propriedade:

Exemplo 4

Se $tg (θ) = \frac{15}{8}$ , quais são as possibilidades para $\cos (θ)$ e $sen (θ)$ ?

Solução

Como

\frac{sen (x)}{\cos (x)} = tg (x) = \frac{15}{8} ∴ sen (x) = \frac{15}{8} \cos (x),

e, como

{sen}^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1,

temos

{(\frac{15}{8} \cos (x))}^{2} + \cos^{2} (x) = 1,

logo

\frac{225 \cos^{2} (x)}{64} + \cos^{2} (x) = 1,

e então

\frac{289 \cos^{2} (x)}{64} = 1.

Com isso,

\cos^{2} (x) = \frac{64}{289} .

Assim,

\cos (x) = \frac{8}{17} ou \cos (x) = - \frac{8}{17} .

Se $\cos (x) = \frac{8}{17}$ , temos

sen (x) = \frac{15}{8} \cdot \frac{8}{17} = \frac{15}{17} .

Se, por outro lado, $\cos (x) = - \frac{8}{17}$ , temos

sen (x) = \frac{15}{8} \cdot (- \frac{8}{17}) = - \frac{15}{17} .

Assim, temos duas possibilidades

\cos (x) = \frac{8}{17} e sen (x) = \frac{15}{17}

ou

\cos (x) = - \frac{8}{17} e sen (x) = - \frac{15}{17} .

Exemplo 5

Determine todos os valores de $x \in R$ tais que

tg (x) ⩾ \sqrt{3} .

Solução

Como $tg (\frac{π}{3}) = tg (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3}$ , vemos, no círculo trigonométrico, que $tg (x) ⩾ \sqrt{3}$ se, e somente se,

\frac{π}{3} + 2 k π ⩽ x < \frac{π}{2} + 2 k π ou \frac{4 π}{3} + 2 k π ⩽ x < \frac{3 π}{2} + 2 k π, k \in Z .

De forma semelhante à tangente, definimos a cotangente de

t

, denotada por

cotg (t)

. Na figura abaixo,

cotg (t)

é a coordenada

x

do ponto

T

Procedendo como na tangente, através da semelhança de triângulo, podemos concluir que

definida quando

t

não for da forma

k π

, com

k \in Z

. Teremos então a função real

Proposição 3

A função $cotg : {x \in R : x \neq k π, \forall k \in Z} \to R$ tem as seguintes propriedades:

$cotg (- x) = - cotg (x)$ , ou seja, $cotg$ é uma função ímpar.
$cotg (x + π) = cotg (x)$ , logo $cotg$ é uma função de período $π$ .

As funções secante e cossecante

Considere agora uma reta tangente ao círculo no ponto

P (t)

e os pontos

E

F

de interseção desta reta com os eixos

x

y

, respectivamente, como na figura abaixo.

Definimos a secante e a cossecante de

t

como sendo, respectivamente, a coordenada

x

do ponto

E

e a coordenada

y

do ponto

F

. A partir da semelhança entre os triângulos

E O F

E P (t) O

, concluímos que

e que

\sec

está definida sempre que

t \neq \frac{π}{2} + k π

para todo

k \in Z

. A partir da semelhança entre os triângulos

E O F

F P (t) O

, concluímos que

e que

cossec

está definida sempre que

t \neq t π

para todo

k \in Z

.
Temos então as funções reais

Proposição 4

A função $\sec$ tem as seguintes propriedades:

$\sec (- x) = \sec (x)$ , ou seja, $\sec$ é uma função par.
$\sec (x + 2 π) = \sec (x)$ , logo $\sec$ é uma função de período $2 π$ .
$\sec (x) ⩾ 1$ ou $\sec (x) ⩽ - 1$ para todo $x \in R$

Proposição 5

A função $cossec$ tem as seguintes propriedades:

$cossec (- x) = - cossec (x)$ , ou seja, $\sec$ é uma função par.
$cossec (x + 2 π) = cossec (x)$ , logo $\sec$ é uma função de período $2 π$ .
$cossec (x) ⩾ 1$ ou $cossec (x) ⩽ - 1$ para todo $x \in R$

logo, como

0 < | \cos (x) | ⩽ 1

para todo

x

onde

\sec (x)

está definido, temos

ou seja,

\sec (x) ⩽ - 1

\sec (x) ⩾ 1

. Da mesma forma,

| cossec (x) | ⩾ 1

, ou seja,

cossec (x) ⩽ - 1

cossec (x) ⩾ 1

Funções Trigonométricas

O Círculo Trigonométrico

Seno e Cosseno de t∈R

Algumas Relações Importantes

As Funções Seno e Cosseno

As Funções Tangente e Cotangente

As funções secante e cossecante

Seno e Cosseno de $t \in R$