O conteúdo desta seção é apresentado no vídeo "Transformação de Gráficos"

Transformações de Gráficos de Funções

Dependendo da composição de funções que consideremos, poderemos facilmente identificar o gráfico do resultado da composição das funções observando o gráfico de uma das funções da composição. Nesta seção, considerando uma constante $c > 0$ , vamos apresentar como obter, a partir do gráfico da função $y = f (x)$ , os gráficos das funções:

$y = f (x) \pm c$
$y = f (x \pm c)$
$y = c \cdot f (x)$
$y = f (c \cdot x)$

$y = - f (x)$
$y = f (- x)$
$y = | f (x) |$
$y = f (| x |)$

Veremos adiante como obter estas e outras transformações de gráficos de funções.

No applet abaixo, temos o exemplo de uma função dada por um polinônio de grau 3. Clicando nas diversas opções em escolhendo o valor para a constante $c$ , você poderá experimentar como cada um dos tipos de composição transforma o gráfico. Antes de escolher as opções, você também pode também tentar adivinhar qual será o esboço do gráfico. Você também pode desmarcar a opção de mostrar $f (x)$ , para poder visualizar melhor o gráfico obtido em qualquer uma das outras transformações.

Translações

Para obter o gráfico da função

$y = f (x) + c$ , devemos deslocar o gráfico de $y = f (x)$ em $c$ unidades para cima;
$y = f (x) - c$ , devemos deslocar o gráfico de $y = f (x)$ em $c$ unidades para baixo.

Exemplo 1

Para obter o gráfico da função $y = \cos (x) + \frac{3}{2}$ devemos deslocar $\frac{3}{2}$ unidades para cima, o gráfico da função $y = \cos (x)$ .

Pode ver uma animação em Geogebra que ilustra esta transformação, no endereço abaixo:

https://www.geogebra.org/m/skkquxe

Para obter o gráfico de:

$y = f (x - c)$ , desloque o gráfico de $y = f (x)$ em $c$ unidades para a direita;
$y = f (x + c)$ , desloque o gráfico de $y = f (x)$ em $c$ unidades para a esquerda.

Exemplo 2

Para obter o gráfico da função $y = {(x - \frac{5}{2})}^{2}$ devemos deslocar $\frac{5}{2}$ unidades para a direita, o gráfico da função $y = x^{2}$ .

No endereço abaixo poderá ver uma animação com a translação horizontal do gráfico da função $f (x) = x^{2}$ :

https://www.geogebra.org/m/bxca6g23.

Expansão e Compressão

Suponha que $c > 1$ . Para obter o gráfico de:

$y = c f (x)$ , expanda o gráfico de $y = f (x)$ verticalmente por um fator de $c$
$y = (1 / c) f (x)$ , comprima o gráfico de $y = f (x)$ verticalmente por um fator de $c$

Exemplo 3

Para obter o gráfico da função $y = 2 \cos (x)$ devemos expandir verticalmente o gráfico da função $y = \cos (x)$ pelo fator $2$ .

Exemplo 4

Para obter o gráfico da função $y = \frac{1}{2} \cos (x)$ devemos comprimir verticalmente o gráfico da função $y = \cos (x)$ pelo fator $2$ .

Suponha que $c > 1$ . Para obter o gráfico de:

$y = f (c x)$ , comprima o gráfico de $y = f (x)$ horizontalmente por um fator de $c$ ;
$y = f (x / c)$ , expanda o gráfico de $y = f (x)$ horizontalmente por um fator de $c$ .

Exemplo 5

Para obter o gráfico da função $y = \cos (3 x)$ devemos comprimir horizontalmente o gráfico da função $y = \cos (x)$ pelo fator $3$ .

Exemplo 6

Para obter o gráfico da função $y = \cos (x / 2)$ devemos expandir horizontalmente o gráfico da função $y = \cos (x)$ pelo fator $2$ .

Reflexão

Para obter o gráfico de:

$y = - f (x)$ , reflita o gráfico de $y = f (x)$ em torno do eixo $x$ .
$y = f (- x)$ , reflita o gráfico de $y = f (x)$ em torno do eixo $y$ .

Exemplo 7

Reflexões do gráfico de $f (x) = 1 / 2 + (x - 1)^{2}$ em torno do eixo $x$ e do eixo $y$ .

Exemplo 8

Vejamos como podemos obter o gráfico da função $f (x) = 2 \sqrt{x + 4} - 1$ a partir do gráfico de $y = \sqrt{x}$ .

Transladando o gráfico anterior 4 unidades para a esquerda, obtemos o gráfico abaixo da função $y = \sqrt{x + 4}$ .

Depois multiplicamos por 2 a expressão da função anterior, fazemos com que o gráfico expanda na direção vertical por um fator 2, conforme a figura abaixo.

E para obter o gráfico da função pedida, basta transladar na vertical o gráfico anterior em uma unidade para baixo.

Exemplo 9

Para obter o gráfico da função $f (x) = - 1 / 2 - sen (2 (x - 1))$ , podemos aplicar transformações ao gráfico de $f (x) = sen (x)$ .

Os pontos $A$ e $B$ forma marcados no gráfico para irmos acompanhando o movimento deles, à medida que fazemos as transformações do gráfico.

Módulos

Outras transformações de gráficos que também são interessantes, são as que envolvem o valor absoluto.

Se $y = | f (x) |$ , então por definição de valor absoluto temos:

| f (x) | = {\begin{array}{lcc} f (x), & se & f (x) \geq 0. \\ - f (x), & se & f (x) < 0. \end{array}

Assim, vemos que podemos obter o gráfico de $y = | f (x) |$ a partir do gráfico de $y = f (x)$ . O gráfico de $y = | f (x) |$ coincide

com o gráfico de $y = f (x)$ nos pontos $(x, y)$ tais que $y = f (x) \geq 0$ ;
com o gráfico de $y = - f (x)$ nos pontos $(x, y)$ tais que $y = f (x) < 0$ .

Exemplo 10

Para obter o gráfico de $g (x) = | \frac{1}{2} - (x - 1)^{2} |$ , podemos partir do gráfico de $f (x) = \frac{1}{2} - (x - 1)^{2}$ e usar a descrição acima.

Vejamos agora como obter o gráfico da função $y = f (| x |)$ a partir do gráfico de $y = f (x)$ . Por definição de valor absoluto, temos:

f (| x |) = {\begin{array}{lcc} f (x), & se & x \geq 0. \\ f (- x), & se & x < 0. \end{array}

Note que o domínio de $f$ , deve conter valores positivos ou $0$ , isto é $D (f) \cap [0, + \infty) \neq \emptyset$ para que a função $f (| x |)$ esteja definida. Além disso, o domínio de $y = f (| x |)$ será um conjunto simétrico relativamente a $x = 0$ , pois será formado por todos os valores reais de $x$ , tais que $| x | \in D (f)$ .

Logo:

o gráfico de $y = f (| x |)$ nos pontos $(x, y)$ tais que $x \geq 0$ , coincide com o gráfico de $y = f (x)$ .
nos pontos $(x, y)$ onde $x < 0$ , o gráfico de $y = f (| x |)$ é o simétrico do gráfico de $y = f (x)$ em relação ao eixo $y$ .

Exemplo 11

Consideremos o gráfico de $f (x) = \sqrt{x}$ , com $x \in [0, + \infty)$

Para obter o gráfico da função $g (x) = f (| x |)$ , devemos "espelhar" o gráfico de $f$ ao longo do eixo $y$ , obtendo então

Note que o domínio da função $g$ é $D (g) = R$ .

Exemplo 12

Para obter o gráfico de $g (x) = - 1 + (| x | - 2)^{2}$ , podemos partir do gráfico de $f (x) = - 1 + (x - 2)^{2}$ e usar a descrição acima.

Exemplo 13

Vejamos como obter o gráfico da função $f (x) = 2 + \frac{1}{| x | - 3}$ .

Podemos suspeitar que conseguiremos obter esse gráfico, aplicando transformações ao gráfico de $g (x) = \frac{1}{x}$ .

O primeiro passo é transladar o gráfico de $y = \frac{1}{x}$ , 3 unidades para a direita de forma a obter o gráfico abaixo à esquerda e depois transladar este último 2 unidades para cima, obtendo o gráfico abaixo à direita.

Para passarmos do gráfico $y = 2 + \frac{1}{x - 3}$ para o gráfico de $y = 2 + \frac{1}{| x | - 3}$ , devemos manter a parte do gráfico que corresponde aos pontos $(x, y)$ com $x \geq 0$ e fazer uma reflexão desta parte do gráfico em relação ao eixo $y$ . Obtendo portanto o gráfico abaixo, que corresponde ao nosso objetivo.

Observe que o gráfico da função obtida tem duas assíntotas verticais em $x = - 3$ e $x = 3$ e uma assíntota horizontal em $y = 1$ .