Exemplo 1

Calcular o limite $lim_{x \to 0} \frac{sen (x) + x^{3} (1 + \cos (10 x))}{x}$ , caso exista.

Solução

Observe que, para todo $x \neq 0$ ,

\frac{sen (x) + x^{3} (1 + \cos (10 x))}{x} = \frac{sen (x)}{x} + \frac{x^{3} (1 + \cos (10 x))}{x} = \frac{sen (x)}{x} + x^{2} (1 + \cos (10 x))

Assim, fazendo

f (x) = \frac{sen (x) + x^{3} (1 + \cos (10 x))}{x},

para todo $x \neq 0$ , teremos

f (x) = \frac{sen (x)}{x} + x^{2} (1 + \cos (10 x)) .

Observe que a função $\cos$ é limitada, assumindo valores no intervalo $[- 1, 1]$ . Assim, $- 1 ⩽ \cos (10 x) ⩽ 1$ , temos $0 ⩽ 1 + \cos (10 x) ⩽ 2$ , e, portanto

\frac{sen (x)}{x} ⩽ f (x) ⩽ \frac{sen (x)}{x} + 2 x^{2} .

Definindo, para todo $x \neq 0$ ,

g (x) = \frac{sen (x)}{x},

h (x) = \frac{sen (x)}{x} + 2 x^{2},

teremos, para $x \neq 0$ ,

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x) .

Vamos agora calcular, caso existam, os limites de $g$ e $h$ com $x$ tendendo a 0. Temos

lim_{x \to 0} g (x) = lim_{x \to 0} \frac{sen (x)}{x} = 1,

lim_{x \to 0} h (x) = lim_{x \to 0} (\frac{sen (x)}{x} + 2 x^{2}) = lim_{x \to 0} \frac{sen (x)}{x} + lim_{x \to 0} 2 x^{2} = 1 + 0 = 1.

Assim, $g$ e $h$ têm o mesmo limite 1 quando $x$ tende a 0.

Mas lembre-se de que $g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)$ para todo $x \neq 0$ . Assim, a função $f$ terá seu gráfico compreendido entre os gráficos de $g$ e $h$ , como mostrado abaixo.

É razoável acreditarmos que

lim_{x \to 0} g (x) ⩽ lim_{x \to 0} f (x) ⩽ lim_{x \to 0} h (x),

e, como $lim_{x \to 0} g (x) = lim_{x \to 0} h (x) = 1$ , teremos

1 ⩽ lim_{x \to 0} f (x) ⩽ 1,

logo

lim_{x \to 0} f (x) = 1.

Teorema do Confronto

O que nos pareceu intuitivo no exemplo anterior é garantido pelo Teorema que enunciamos abaixo.

Teorema 1

Sejam $f$ , $g$ e $h$ três funções definidas próximas de $a \in R$ , mas que não precisam estar definidas em $a$ , isto é, definidas em $(a - r, a) \cup (a, a + r)$ , para algum $r > 0$ . Se

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

para todo $x \in (a - r, a) \cup (a, a + r)$ , e

lim_{x \to a} g (x) = lim_{x \to a} h (x) = L,

então

lim_{x \to a} f (x) = L .

Vamos entender o enunciado deste Teorema. Primeiro, temos três funções

f, g

h

tais que

para todo

x

próximo a

a \in R

, mas não importando o que aconteça para

x = a

. Na verdade, as funções nem precisam estar definidas em

x = a

. Agora, suponha que as funções

g

h

tenham o mesmo limite

L

quando

x

tende a

a

, isto é,

Isto significa que, perto de

x = a

, as funções

g

h

estão ``espremendo’’ a função

f

, fazendo com que ela tenha, também, o mesmo limite

L

x = a

, isto é,

No esboço que acabamos de apresentar, parece que temos

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

, para todo

x \neq a

. Isto não precisa acontecer para podermos chegar à conclusão do Teorema. Veja o esboço abaixo:

Neste esboço, claramente não é verdade que

g (x) < f (x)

para todo

x \in R - {a}

. De fato, se nos afastarmos de

x = a

, podemos ver que o valor de

f (x)

é menor que

g (x)

.
Porém, lembre-se de que, para limites, o importante é o que acontece perto do ponto onde estamos estudando o limite. Neste caso, se nos restringirmos a valores próximos a

x = a

, como no esboço abaixo, a condição

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

será satisfeita; observe:

Há um outro ponto que precisamos destacar. Você deve se lembrar de que, para a existência e para o cálculo do

lim_{x \to a} f (x)

, o valor que

f (a)

é absolutamente irrelevante. Na verdade, este valor sequer precisa estar definido. Isto se aplica também ao Teorema do Confronto. Releia o enunciado e veja que fizemos questão de destacar que as funções precisam estar definidas perto de

x = a

, mas não necessariamente em

x = a

. Além disso, a condição

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

também só foi exigida para todo

x

perto de

a

com

x \neq a

. Se esta condição vale ou não vale em

a

, é absolutamente irrelevante para a conclusão do Teorema. Observe o esboço abaixo:

Uma divertida (eu pelo menos acho divertida!) observação sobre o Teorema do Confronto é que ele também é bastante (mesmo!) conhecido como Teorema do Sanduíche. Este nome é muito sugestivo do que acontece, uma vez que temos as funções

g

h

ensanduichando a função

f

. Observe, porém, que este sanduíche de funções deve ter sido comprimido em

x = a

, a ponto de as fatias

g

h

encontrarem.

Outras versões do Teorema do Confronto

isto é,

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x), para todo x próximo de a, com x < a

, e

lim_{x \to a^{-}} g (x) = lim_{x \to a^{-}} h (x) = L

.
A mesma intuição que nos faz acreditar no Teorema do Confronto que apresentemos anteriormente também nos permite concluir que

Esta seria uma versão ``à esquerda’’ do Teorema do Confronto. Não temos a menor ideia do que acontece à direita de

x = a

. Poderíamos até ter uma situação como abaixo:

Mas, se restringirmos nosso estudo ao que acontece à esquerda de

x = a

, o limite

lim_{x \to a^{-}} f (x) = L

estaria garantido.
Temos então a seguinte versão ``lateral’’ do Teorema:

Teorema 2

Sejam $f$ , $g$ e $h$ funções definidas para todo $x$ próximo à esquerda de $a$ , ou seja, para $x \in (a - r, a)$ , para algum $r > 0$ . Se

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

para todo $x \in (a - r, a)$ , e

lim_{x \to a^{-}} g (x) = lim_{x \to a^{-}} h (x) = L,

então

lim_{x \to a^{-}} f (x) = L .

Fizemos questão de repetir, no enunciado do Teorema, que a desigualdade só precisa valer ``para todo

x

próximo a

a

com

x < a

’’. Isto porque, mais uma vez, só importa o que acontece perto e à esquerda de

x = a

.
Analogamente, podemos enunciar uma versão ``à direita’’:

Teorema 3

Sejam $f$ , $g$ e $h$ funções definidas para todo $x$ próximo à direita de $a$ , ou seja, para $x \in (a, a + r)$ , para algum $r > 0$ . Se

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

para todo $x \in (a, a + r)$ , e

lim_{x \to a^{+}} g (x) = lim_{x \to a^{+}} h (x) = L,

então

lim_{x \to a^{+}} f (x) = L .

Repare que ainda assim, vale que

lim_{x \to a^{+}} f (x) = L

. O que acontece à esquerda de

x = a

não está sendo discutido nesta versão ``á direita’’ do Teorema.
Podemos ainda extrapolar as conclusões do Teorema do Confronto para o caso de limites no infinito. Vejamos um exemplo antes de enunciarmos mais verões do Teorema.

Exemplo 2

Calcular o limite $lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 2 + sen (x)}{3 x^{3} - 1}$ , caso exista.

Solução

Inicialmente, veja que temos sempre

- 1 ⩽ sen (x) ⩽ 1,

logo

2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 1 ⩽ 2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 2 + sen (x) ⩽ 2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 3.

Escolhendo um $x$ suficientemente grande, podemos garantir que $3 x^{3} - 1 > 0$ . Assim, dividindo as desigualdades acima por $3 x^{3} - 1$ , temos

\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 1}{3 x^{3} - 1} ⩽ \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 2 + sen (x)}{3 x^{3} - 1} ⩽ \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 3}{3 x^{3} - 1} .

(Precisamos garantir, de alguma forma, que $3 x^{3} - 1 > 0$ pois, do contrário, ao dividir as desigualdades por $3 x^{3} - 1 > 0$ , o sinal $⩽$ poderia se inverter... se lembra?)
Fazendo

f (x) = \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 2 + sen (x)}{3 x^{3} - 1},

g (x) = \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 1}{3 x^{3} - 1},

h (x) = \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 3}{3 x^{3} - 1},

temos então

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

para todo $x$ grande o suficiente. Além disso,

lim_{x \to + \infty} g (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 1}{3 x^{3} - 1} = \frac{2}{3},

lim_{x \to + \infty} h (x) = lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + 3}{3 x^{3} - 1} = \frac{2}{3} .

Vamos agora esboçar os gráficos de $f$ , $g$ e $h$ , apenas para tentar ilustrar um pouco a situação. O gráfico de $f$ está em azul, e os gráficos de $g$ e $h$ estão em verde e vermelho, respectivamente.

Observe o que acontece se nos concentramos em $x$ positivo e grande o suficiente (com $3 x^{3} - 1 > 0$ ):

Nesta parte observada do esboço, e daqui para $x \to + \infty$ , vimos acima que

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x),

lim_{x \to + \infty} g (x) = \frac{2}{3},

lim_{x \to + \infty} h (x) = \frac{2}{3} .

É fácil acreditar que o gráfico de $f$ será ``espremido’’ pelos de $g$ e $h$ , que estão se aproximando da reta $y = \frac{2}{3}$ (a assíntota horizontal). Com isso, teremos claramente

lim_{x \to + \infty} f (x) = \frac{2}{3} .

Teorema 4

Sejam $f$ , $g$ e $h$ funções definidas para todo $x > K$ , onde $K$ é um número real grande o suficiente. Se

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

para $x > K$ , e

lim_{x \to + \infty} g (x) = lim_{x \to + \infty} h (x) = L,

então

lim_{x \to + \infty} f (x) = L .

Teorema 5

Sejam $f$ , $g$ e $h$ funções definidas para todo $x < K$ , onde $K$ é um número real negativo o suficiente. Se

g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)

para $x < K$ , e

lim_{x \to - \infty} g (x) = lim_{x \to - \infty} h (x) = L,

então

lim_{x \to - \infty} f (x) = L .

Exemplo 3

Seja $f$ uma função definida em $R$ tal que, para $x \neq - 2$ ,

- x^{2} + x + 2 ⩽ f (x) ⩽ \frac{x^{2} - 4}{x + 2} .

Calcule $lim_{x \to - 2} f (x)$ , se existir. Solução: Temos

lim_{x \to - 2} - x^{2} + x + 2 = - (- 2)^{2} + (- 2) + 2 = - 4

lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{(x - 2) (x + 2)}{x + 2} = lim_{x \to - 2} (x - 2) = - 4.

Assim, como $- x^{2} + x + 2 ⩽ f (x) ⩽ \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ , temos pelo Teorema do Confronto,

lim_{x \to - 2} f (x) = - 4.

O Teorema do Confronto

Teorema do Confronto

Outras versões do Teorema do Confronto