Inversas das Funções Trigonométricas

Seja $f : A \to B$ uma função. Lembremos que $f$ tem uma inversa, $f^{- 1} : B \to A$ , se e somente se $f$ e uma função bijetora (isto é a função $f$ é simultaneamente injetora e sobrejetora).

Inversa da Função Seno

Observemos o gráfico da função $sen : R \to R$ .

Claramente ela não é injetora pois $sen (0) = sen (π)$ .

Também ela não é sobrejetora pois observando o gráfico da função vemos que sua imagem é o intervalo $[- 1, 1]$ .

Logo a função $sen : R \to R$ não tem inversa. Porém, podemos restringir seu domínio e seu contradomínio de forma a obter uma nova função que seja bijetora.

O seguinte gráfico representa a função $sen : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \to [- 1, 1]$ .

Vemos pelo gráfico que $sen : [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \to [- 1, 1]$ é uma função bijetora e portanto ela tem uma inversa que é chamada de arcosseno e é denotada pelo símbolo $arcsen$ .

Então temos uma nova função:

arcsen : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

que tem como gráfico

Em particular temos que $arcsen$ é uma função contínua.

Observar que

arcsen (sen (x)) = x, \forall x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] e sen (arcsen (y)) = y, \forall y \in [- 1, 1] .

Ou em outras palavras:

\begin{matrix} (1) & x = arcsen (y) o único valor em [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] que satisfaz sen (x) = y \end{matrix}

Exemplo 1

Calcule $arcsen (\frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Solução

Sabemos que $sen (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , e sendo que $\frac{π}{3} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , concluímos pela propriedade 1 que $arcsen (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3}$ .

Exemplo 2

Calcule $arcsen (\frac{1}{2})$ .

Solução

Sabemos que $sen (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ , e sendo que $\frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ , concluímos pela propriedade 1 que $arcsen (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$ .

Inversa da Função Cosseno

O gráfico da função $\cos : R \to R$ é

Claramente ela não é injetora pois $\cos (0) = \cos (2 π)$ .

Também, ela não é sobrejetora pois observando o gráfico da função vemos que sua imagem é o intervalo $[- 1, 1]$ .

Logo a função $\cos : R \to R$ não tem inversa. Porém, podemos restringir seu domínio e seu contradomínio de forma a obter uma nova função que seja bijetora.

O seguinte gráfico representa a função $\cos : [0, π] \to [- 1, 1]$ .

Vemos pelo gráfico que $\cos : [0, π] \to [- 1, 1]$ é uma função bijetora e portanto ela tem uma inversa que é chamada de arcocosseno e é denotada pelo símbolo $arcos$ .

Então temos uma nova função:

arcos : [- 1, 1] \to [0, π]

O gráfico de $arcos (x)$ é

Notar que a função $g (y) = arcos (y)$ é uma função contínua.

E temos que

arcos (\cos (x)) = x, \forall x \in [0, π] e \cos (arcos (y)) = y, \forall y \in [- 1, 1] .

Ou em outras palavras:

\begin{matrix} (2) & y = arcos (x) é o único valor em [0, π] que satisfaz \cos (y) = x, x \in [- 1, 1] . \end{matrix}

Exemplo 3

Calcule $arcos (- \frac{1}{2})$ .

Solução

Sabemos que $\cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}$ , e sendo que $\frac{2 π}{3} \in [0, π]$ , concluímos pela propriedade 2 que $arcos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}$ .

Exemplo 4

Calcule $arcos (\frac{1}{\sqrt{2}})$ .

Solução

Sabemos que $\cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , e sendo que $\frac{π}{4} \in [0, π]$ , concluímos pela propriedade 2 que $arcos (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{π}{4}$ .

Inversa da Função Tangente

O gráfico da função $\tan : R - {\frac{π}{2} + k π, | k \in Z} \to R$ é

Ela é sobrejetora pois observando o gráfico da função vemos que sua imagem é todo o conjunto $R$ porém ela não é injetora pois $\tan (0) = \tan (π)$ .

Logo a função $\tan : R - {\frac{π}{2} + k π, | k \in Z} \to R$ não tem inversa. Porém podemos restringir seu domínio de tal forma a obter uma nova função que seja bijetora.

O seguinte gráfico representa a função $\tan : (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to R$ .

Vemos pelo gráfico que $\tan : (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to R$ é uma função bijetora e portanto ela tem uma inversa que é chamada de arcotangente e é denotada pelo símbolo $\arctan$ .

Então temos uma nova função:

\arctan : R \to (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

com gráfico

Esta função tem como domínio o conjunto $R$ e sua imagem é o conjunto $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Note que $f (y) = \arctan (y)$ é uma função contínua. Podemos ver pelo gráfico que

lim_{y \to + \infty} \arctan y = \frac{π}{2} e lim_{y \to - \infty} \arctan y = - \frac{π}{2} .

Isto é, as retas $y = \frac{π}{2}$ e $y = - \frac{π}{2}$ são assíntotas horizontais.

Notemos que a função $f (y) = \arctan (y)$ é uma função ímpar: Logo temos

\arctan (- y) = - \arctan (y) \forall y \in R

Além disso temos que

\tan (\arctan (y)) = y, \forall y \in R e \arctan (\tan (x)) = x, \forall x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) .

Ou em outras palavras:

$x = \arctan (y)$ é o único valor em $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ que satisfaz $\tan (x) = y$ .