Funções Definidas Verbalmente

Algumas funções podem ser apresentadas verbalmente, isto é, usando apenas palavras, sem expressões matemáticas. Nesse caso, devemos encontrar a expressão matemática que define a função descrita verbalmente, esse processo é um exemplo simples do que chamamos de modelagem matemática. Para isso, fazemos um esboço do problema, através de desenhos, listagem das variáveis envolvidas e em muitos casos encontramos uma ou mais equações matemáticas que relacionem as variáveis.

Exemplo 1

Um retângulo tem área igual a 25 $m^2$.

  1. Expresse seu perímetro como função do comprimento de um de seus lados.

  2. Determine o comprimento dos lados do retângulo, cujo perímetro é igual a 25$m$.

Solução

  1. Sejam $x$ e $y$ os lados do retângulo, então $x.y=25 \Rightarrow y=\dfrac{25}{x}$. Logo, seu perímetro é dado por $P=2x+2y=2x+\dfrac{2.25}{x}=2x+\dfrac{50}{x}=\dfrac{2x^2+50}{x}$, $x>0$.

  2. $P=\dfrac{2x^2+50}{x}=25 \Rightarrow 2x^2+50=25x \Rightarrow 2x^2-25x+50=0$, cujas raízes são $x_1=10$ e $x_2=2,5$. Assim, um lado mede 10 cm e o outro 2,5 cm.

Exemplo 2

Uma escada com 3$m$ de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede, determine a distância da base da escada à parede em função da distância da base da parede ao topo da escada.

Solução

Sejam $x$ a distância da base da escada à parede e $y$ a distância do topo da escada ao chão, como na figura a seguir:

Usando o Teorema de Pitágoras, temos que $x^2+y^2=9$, portanto a distância $x$ da base da escada à parede em função da distância $y$ da base da parede ao topo da escada é dada por $x=\sqrt{9-y^2}$, para $0\leq y\leq 3$.