Funções Condicionalmente Definidas

Um exemplo

Será que o esboço abaixo representa o gráfico de uma função f:RR ?

Lembre-se de que, para que o esboço represente o gráfico de uma função f:RR, para cada valor de xR deve haver um único ponto valor de yR tal que (x,y) seja um ponto deste gráfico. Neste caso, teremos que f(x)=y.
Em termos geométricos, isto significa que toda reta vertical deverá cortar o esboço em um ponto e apenas um ponto.

Podemos ver claramente que é isso o que ocorre no esboço apresentado. Você pode ficar com alguma dúvida com relação ao que acontece para x=1, afinal, neste valor de x há um "salto" na função. Note, porém, que o ponto (1,1) pertence ao gráfico (o ponto está representado como uma "bolinha cheia"), enquanto o ponto (1,1) não pertence (o ponto está representado por uma "bolinha vazia"). Com isso, temos f(1)=1.

Será que podemos apresentar uma expressão f(x) para esta função, isto é, obter uma expressão que dê explicitamente o valor que a função assume para cada valor de xR? Isto depende das informações que temos sobre o gráfico.
Vamos supor que ele seja formado por pedaços de retas para x1 e para 1<x<1, e uma por parábola de vértice (1,1) e concavidade para cima, para x1.

Esta função é

Com isso, conseguimos obter uma expressão para a função em cada uma das condições acima.

Obtivemos uma expressão para a função f em cada condição, mas como podemos reunir todas estas possibilidades em uma única expressão? Podemos escrever na forma

f(x)={x2,se x11,se 1<x<1x22x+2,se x1

Este tipo de escrita é chamado de condicional, e a função é dita condicionalmente definida, ou função partida. Note que estamos dizendo, claramente, como calcular o valor de f(x) em todo os pontos x do domínio R da função, pois

R={xR:x1}{xR:1<x<1}{xR:x1}.

Além disso, para cada valor de xR, há um único valor atribuído a f(x), pois não há x que esteja em duas condições diferentes. Mais abaixo, veremos que até seria "permitido" que um mesmo x satisfizesse duas condições, desde que o valor da f fosse igual em ambas.

O valor de f(x) mudaria em algum valor de x se, em vez da expressão acima, escrevêssemos o que se segue? (As mudanças em relação ao exemplo anterior estão em vermelho)

f(x)={x2,se x11,se 1<x1x22x+2,se x>1

Repare que x=1 agora satisfaz a segunda condição e não mais a primeira. Avaliando x=1 de acordo com a segunda condição, temos

f(x)={x2,se x11,se 1<x1f(1)=1x22x+2,se x>1

Por outro lado, com a expressão que obtivemos anteriormente, o x=1 deveria ser avaliado de acordo com a terceira condição, e teríamos

f(x)={x2,se x11,se 1<x<1x22x+2,se x1f(1)=1221+2=1.

Ou seja, a mudança feita não alteraria os valores f(x) da função. São, portanto, expressões diferentes para a mesma função.
E se, agora, escrevêssemos da forma abaixo?

f(x)={x2,se x<11,se 1x<1x22x+2,se x1

Note que agora trocamos a condição satisfeita pelo x=1. Ele agora satisfaz a segunda condição, e não mais a primeira. Avaliando x=1, temos

f(x)={x2,se x1f(1)=11,se 1<x<1x22x+2,se x1.

Por outro lado, na primeira expressão, antes da mudança, teríamos

f(x)={x2,se x<11,se 1x<1f(1)=1x22x+2,se x1.

Ou seja, a alteração feira mudou a função, uma vez que o valor f(x) mudou para pelo menos um valor de x. Assim, seriam funções diferentes.
E será que poderíamos definir a função como abaixo?

f(x)={x2,se x11,se 1<x1x22x+2,se x1

Repare que x=1 satisfaz duas condições, a segunda e a terceira.
Não seria usual escrever desta forma, mas poderíamos sim. O único valor de xR que satisfaz duas condições é o x=1, sendo f(1) avaliado com o mesmo valor nestas duas condições. Mas não poderíamos definir a função como abaixo

f(x)={x2,se x11,se 1x<1x22x+2,se x1,

pois x=1 satisfaz à primeira e à segunda condições, tendo valores diferentes em cada uma. Na primeira, temos f(1)=1 e, na segunda, f(1)=1. Assim, a função não estaria bem definida para x=1.

Funções Condicionalmente Definidas

Uma função f:DR é dita condicionalmente definida ou partida se sua expressão é apresentada na forma

f(x)={f1(x),se condição1f2(x),se condição2fn(x),se condiçãon

Sendo

D={xR:xsatisfaz a condição1}{xR:xsatisfaz a condição2}{xR:xsatisfaz a condiçãon}

Além disso, se um mesmo x0D satisfaz a mais de uma condição diferente, por exemplo, condiçãoi e condiçãoj, então fi(x0)=fj(x0). O mais usual, porém, é que todos os valores de xD satisfaçam apenas uma das condições.