Funções Condicionalmente Definidas
Um exemplo
Será que o esboço abaixo representa o gráfico de uma função ?
Lembre-se de que, para que o esboço represente o gráfico de uma função , para cada valor de deve haver um único ponto valor de tal que seja um ponto deste gráfico. Neste caso, teremos que .
Em termos geométricos, isto significa que toda reta vertical deverá cortar o esboço em um ponto e apenas um ponto.
Podemos ver claramente que é isso o que ocorre no esboço apresentado. Você pode ficar com alguma dúvida com relação ao que acontece para , afinal, neste valor de há um "salto" na função. Note, porém, que o ponto pertence ao gráfico (o ponto está representado como uma "bolinha cheia"), enquanto o ponto não pertence (o ponto está representado por uma "bolinha vazia"). Com isso, temos .
Será que podemos apresentar uma expressão para esta função, isto é, obter uma expressão que dê explicitamente o valor que a função assume para cada valor de ? Isto depende das informações que temos sobre o gráfico.
Vamos supor que ele seja formado por pedaços de retas para e para , e uma por parábola de vértice e concavidade para cima, para .
Esta função é
afim, com e , para .
constante e igual a 1, se .
e quadrática, com vértice e , quando .
Com isso, conseguimos obter uma expressão para a função em cada uma das condições acima.
:
Nesta condição, a expressão da função será da forma . Os pontos e pertencem ao gráfico da função, portanto
Assim, temos . Substituindo , temos
Portanto, , se .
: Nesta condição, a função é constante e igual a 1. Assim, sua expressão é dada por .
: Nesta condição, é quadrática, logo . O vértice é dado por
logo
e
Com isso, a expressão é da forma
Substituindo o ponto , temos
Com isso, e , logo , para .
Obtivemos uma expressão para a função em cada condição, mas como podemos reunir todas estas possibilidades em uma única expressão? Podemos escrever na forma
Este tipo de escrita é chamado de condicional, e a função é dita condicionalmente definida, ou função partida. Note que estamos dizendo, claramente, como calcular o valor de em todo os pontos do domínio da função, pois
Além disso, para cada valor de , há um único valor atribuído a , pois não há que esteja em duas condições diferentes. Mais abaixo, veremos que até seria "permitido" que um mesmo satisfizesse duas condições, desde que o valor da fosse igual em ambas.
O valor de mudaria em algum valor de se, em vez da expressão acima, escrevêssemos o que se segue? (As mudanças em relação ao exemplo anterior estão em vermelho)
Repare que agora satisfaz a segunda condição e não mais a primeira. Avaliando de acordo com a segunda condição, temos
Por outro lado, com a expressão que obtivemos anteriormente, o deveria ser avaliado de acordo com a terceira condição, e teríamos
Ou seja, a mudança feita não alteraria os valores da função. São, portanto, expressões diferentes para a mesma função.
E se, agora, escrevêssemos da forma abaixo?
Note que agora trocamos a condição satisfeita pelo . Ele agora satisfaz a segunda condição, e não mais a primeira. Avaliando , temos
Por outro lado, na primeira expressão, antes da mudança, teríamos
Ou seja, a alteração feira mudou a função, uma vez que o valor mudou para pelo menos um valor de . Assim, seriam funções diferentes.
E será que poderíamos definir a função como abaixo?
Repare que satisfaz duas condições, a segunda e a terceira.
Não seria usual escrever desta forma, mas poderíamos sim. O único valor de que satisfaz duas condições é o , sendo avaliado com o mesmo valor nestas duas condições. Mas não poderíamos definir a função como abaixo
pois satisfaz à primeira e à segunda condições, tendo valores diferentes em cada uma. Na primeira, temos e, na segunda, . Assim, a função não estaria bem definida para .
Funções Condicionalmente Definidas
Uma função é dita condicionalmente definida ou partida se sua expressão é apresentada na forma
Sendo
Além disso, se um mesmo satisfaz a mais de uma condição diferente, por exemplo, e , então . O mais usual, porém, é que todos os valores de satisfaçam apenas uma das condições.