Funções Condicionalmente Definidas

Um exemplo

Será que o esboço abaixo representa o gráfico de uma função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ?

Lembre-se de que, para que o esboço represente o gráfico de uma função $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, para cada valor de $x\in \mathbb{R}$ deve haver um único ponto valor de $y\in \mathbb{R}$ tal que $(x,y)$ seja um ponto deste gráfico. Neste caso, teremos que $f(x)=y$.
Em termos geométricos, isto significa que toda reta vertical deverá cortar o esboço em um ponto e apenas um ponto.

Podemos ver claramente que é isso o que ocorre no esboço apresentado. Você pode ficar com alguma dúvida com relação ao que acontece para $x=-1$, afinal, neste valor de $x$ há um "salto" na função. Note, porém, que o ponto $(-1,-1)$ pertence ao gráfico (o ponto está representado como uma "bolinha cheia"), enquanto o ponto $(-1,1)$ não pertence (o ponto está representado por uma "bolinha vazia"). Com isso, temos $f(-1)=-1$.

Será que podemos apresentar uma expressão $f(x)$ para esta função, isto é, obter uma expressão que dê explicitamente o valor que a função assume para cada valor de $x\in \mathbb{R}$? Isto depende das informações que temos sobre o gráfico.
Vamos supor que ele seja formado por pedaços de retas para $x⩽-1$ e para $-1<x<1$, e uma por parábola de vértice $(1,1)$ e concavidade para cima, para $x⩾1$.

Esta função é

• afim, com $f(-2)=0$ e $f(-1)=-1$, para $x⩽-1$.

• constante e igual a 1, se $-1<x<1$.

• e quadrática, com vértice $(1,1)$ e $f(2)=2$, quando $x⩾2$.

Com isso, conseguimos obter uma expressão para a função em cada uma das condições acima.

• $x⩽-1$:
  Nesta condição, a expressão da função será da forma $f(x)=bx+c$. Os pontos $(x_0,y_0)=(-2,0)$ e $(x_1,y_1)=(-1,-1)$ pertencem ao gráfico da função, portanto

  $$b=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{-1-0}{-1-(-2)}=\frac{-1}{1}=-1.$$

  Assim, temos $y=f(x)=-x+c$. Substituindo $(-1,-1)$, temos

  $$-1=-(-1)+c\therefore c=-2.$$

  Portanto, $f(x)=-x-2$, se $x⩽-1$.

• $-1<x<1$: Nesta condição, a função $f$ é constante e igual a 1. Assim, sua expressão é dada por $f(x)=1$.

• $x⩾1$: Nesta condição, $f$ é quadrática, logo $f(x)=a{x}^2+bx+c$. O vértice é dado por

  $$(-\frac{b}{2a},-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a})=(1,1),$$

  logo

  $$-\frac{b}{2a}=1\therefore b=-2a,$$

  e

  $$-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=1\therefore -\frac{(-2a{)}^2-4ac}{4a}=1\therefore -\frac{4a^2-4ac}{4a}=1\therefore -\frac{4a(a-c)}{4a}=1\therefore -(a-c)=1\therefore c-a=1$$
  $$\therefore c=a+1.$$

  Com isso, a expressão é da forma

  $$f(x)=a{x}^2-2ax+a+1.$$

  Substituindo o ponto $(2,2)$, temos

  $$2=a\cdot 2^2-2a\cdot 2+a+1\therefore 4a-4a+a+1=2\therefore a=1.$$

  Com isso, $b=-2a=-2$ e $c=a+1=2$, logo $f(x)=x^2-2x+2$, para $x⩾1$.

Obtivemos uma expressão para a função $f$ em cada condição, mas como podemos reunir todas estas possibilidades em uma única expressão? Podemos escrever na forma

Este tipo de escrita é chamado de condicional, e a função é dita condicionalmente definida, ou função partida. Note que estamos dizendo, claramente, como calcular o valor de $f(x)$ em todo os pontos $x$ do domínio $\mathbb{R}$ da função, pois

Além disso, para cada valor de $x\in \mathbb{R}$, há um único valor atribuído a $f(x)$, pois não há $x$ que esteja em duas condições diferentes. Mais abaixo, veremos que até seria "permitido" que um mesmo $x$ satisfizesse duas condições, desde que o valor da $f$ fosse igual em ambas.

O valor de $f(x)$ mudaria em algum valor de $x$ se, em vez da expressão acima, escrevêssemos o que se segue? (As mudanças em relação ao exemplo anterior estão em vermelho)

Repare que $x=1$ agora satisfaz a segunda condição e não mais a primeira. Avaliando $x=1$ de acordo com a segunda condição, temos

Por outro lado, com a expressão que obtivemos anteriormente, o $x=1$ deveria ser avaliado de acordo com a terceira condição, e teríamos

Ou seja, a mudança feita não alteraria os valores $f(x)$ da função. São, portanto, expressões diferentes para a mesma função.
E se, agora, escrevêssemos da forma abaixo?

Note que agora trocamos a condição satisfeita pelo $x=-1$. Ele agora satisfaz a segunda condição, e não mais a primeira. Avaliando $x=-1$, temos

Por outro lado, na primeira expressão, antes da mudança, teríamos

Ou seja, a alteração feira mudou a função, uma vez que o valor $f(x)$ mudou para pelo menos um valor de $x$. Assim, seriam funções diferentes.
E será que poderíamos definir a função como abaixo?

Repare que $x=1$ satisfaz duas condições, a segunda e a terceira.
Não seria usual escrever desta forma, mas poderíamos sim. O único valor de $x\in \mathbb{R}$ que satisfaz duas condições é o $x=1$, sendo $f(1)$ avaliado com o mesmo valor nestas duas condições. Mas não poderíamos definir a função como abaixo

pois $x=1$ satisfaz à primeira e à segunda condições, tendo valores diferentes em cada uma. Na primeira, temos $f(-1)=-1$ e, na segunda, $f(-1)=1$. Assim, a função não estaria bem definida para $x=-1$.

Funções Condicionalmente Definidas

Uma função $f:\mathrm{D}\to \mathbb{R}$ é dita condicionalmente definida ou partida se sua expressão é apresentada na forma

Sendo

Além disso, se um mesmo $x_0\in \mathrm{D}$ satisfaz a mais de uma condição diferente, por exemplo, ${\text{condição}}_i$ e ${\text{condição}}_j$, então $f_i(x_0)=f_j(x_0)$. O mais usual, porém, é que todos os valores de $x\in \mathrm{D}$ satisfaçam apenas uma das condições.