Nesta seção, vamos introduzir o conceito de limite de forma intuitiva, a partir da análise de gráficos de funções. Estudaremos os limites laterais (à esquerda e à direita) em pontos determinados. Antes de prosseguir, assista ao vídeo abaixo:
Agora, prossiga com o estudo dos exemplos abaixo.
Uma panela com água foi colocada no fogo. No início, a água está em temperatura ambiente ($TI$) e começa a aquecer. No instante em que começa a fervura ($t_1$), alguém joga um balde de gelo, provocando uma queda brusca da temperatura, até $TG$. Poderíamos representar essa situação como no gráfico abaixo.
Depois, a temperatura torna a subir até atingir a temperatura de ebulição, quando se estabiliza.
O que acontece com a temperatura quando o tempo se aproxima de $t_1$ ou $t_2$?
Se, antes do instante $t_1$, fosse possível prever a temperatura em $t_1$, iríamos dizer que a temperatura seria $TE$, já que a temperatura está se aproximando deste valor antes de $t_1$. Por outro lado, se fosse possível voltar o tempo para trás, e analizar o que acontece com a temperatura quando o tempo volta para $t_1$, diríamos que a temperatura se aproximaria de $TG.$
Esta é a primeira noção de limite que temos, e o que está sendo estimado aqui é o limite à esquerda e à direita da temperatura, quando o tempo se aproxima de $t_1$.
No limite à esquerda, estamos deixando o tempo $t$ se aproximar de $t_1$ com valores menores do que $t_1$ (à esquerda de $t_1$ na reta dos números reais) e vendo o que acontece com a temperatura. Se for possível fazer uma previsão, diremos que o limite da temperatura $T(t)$ quando $t$ tende a $t_1$ pela esquerda é o valor da previsão. Escrevemos
onde $T(t)$ é a temperatura dada em função do tempo $t$. Repare no $-$ ao lado do $t_1$, indicando que o limite é à esquerda
Da mesma forma, se aproximamos o tempo de $t_1$ com valores maiores que $t_1$ (à direita de $t_1$) e podemos prever que a temperatura se aproxima de um valor, diremos que o o limite de $T(t)$ quando $t$ tende a $t_1$ pela esquerda é este valor da previsão. Escrevemos
\[\lim_{t\to t_1^+}T(t) = TG.\]O $+$ ao lado do $t_1$ indica que o limite é à direita.
Em qualquer um dos limites acima, à esquerda ou à direita, o valor da função no instante exato $t_1$ não interessa. Se tivéssemos $T(t_1) = TG$, os limites seriam os mesmos.
Formalmente, dado um valor fixo $x=a$, de tal maneira que o conjunto $(a-r,a) \cup (a,a+r)$ está contido no domínio de $f$, analisamos o comportamento de $f$ nesse conjunto para calcular $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a^-}f(x)$ ( lê-se: limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $a$, pela esquerda) e $\displaystyle\lim_{x \rightarrow a^+}f(x)$ (lê-se: limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $a$, pela direita).
O limite à esquerda é verificado analisando o comportamento de $f$ em valores de $x$ menores que $a$ (à esquerda de $a$ na reta numérica), e muito próximos de $a$. Analogamente, o limite pela direita é verificado analisando o comportamento de $f$ em valores de $x$ maiores que $a$ (à direita de $a$ na reta numérica), e muito próximos de $a$.
Dizemos que o limite quando $x$ tende a $a$ de $f(x)$ existe e é igual ao número real $L$, se ambos os limites laterais existem e valem $L$. Isto é:
$$\lim_{x \rightarrow a}f(x)=L \Leftrightarrow\lim_{x \rightarrow a^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow a^+}f(x)=L$$As figuras ??? e ??? apresentam os gráficos das funções $f$ e $g$. Para cada uma das funções, existem os limites laterais em $x=-1$? O limite existe?
Figura 1: gráfico de $f$
Figura 2: gráfico de $g$
Para $f(x)$, fazendo $x$ se aproximar de $-1$ por valores maiores que $-1$, vemos que $f(x)$ se aproxima de $0$. Portanto, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow {-1}^+}f(x)=0$. Para calcular o limite à esquerda, escolhemos valores menores que $x$ cada vez mais próximos de $-1$, para concluirmos $\displaystyle\lim_{x \rightarrow {-1}^-} f(x) = 1$. Cada um dos limites laterais existe, mas são diferentes. Portanto, não existe $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1}f(x)$. Procedendo de modo análogo para $g(x)$, vemos que existem os limites laterais, e ambos valem $1$. Portanto, $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1}g(x)=1$.
Nesse caso, em $x=3$, existe o limite à esquerda. O limite à direita não existe em $x=3$ pois, quando $x$ se aproxima de $3$ pela direita, $f(x)$ não se aproxima de nenhum número, na verdade o valor de $f(x)$ fica tão grande quanto se queira (dizemos que tende a infinito). Assim, como um dos limites laterais não existe, o limite $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}f(x)$ não existe.
Figura 3: Não Existe o limite à direita em $x=3$