Vimos no estudo sobre limites que o limite de algumas funções quando

x

tende a

a

coincide com a imagem da função no ponto

a

. Funções com esta propriedade são ditas contínuas em $a$ . A ideia matemática de continuidade é a da própria palavra, ou seja, de um processo contínuo, sem quebras, que não possui mudanças abruptas.

Quando pensamos, por exemplo, em um valor aproximado para

\sqrt{3, 9}

, logo vem à mente o valor

2

, afinal,

3, 9

está próximo de 4! Isso é verdade, pois a função raiz quadrada é contínua em seu domínio, se não o fosse, seu valor em

3, 9

poderia estar bem ``longe'' de 2!

Exemplo 1

Considere a função definida por

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, & se x ⩽ 0 \\ x^{3}, & se x > 0. \end{cases}

Como $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + 1) = 1$ e $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} x^{3} = 0$ , o limite $lim_{x \to 0} f (x)$ não existe. No gráfico da $f$ , ao lado, isto representa que há um ``salto'' ou uma ``quebra'' no ponto $x = 0$ .

Exemplo 2

Considere a função definida por

f (x) = {\begin{cases} | x |, & se x \neq 1 \\ 0, & se x = 1. \end{cases}

Sabemos que $lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} | x | = 1$ . Entretanto, como
$f (1) = 0$ , temos que $lim_{x \to 1} f (x) \neq f (1)$ . No gráfico da $f$ , ao lado, isto representa que há um ``salto'' ou uma ``quebra'' no ponto $x = 1$ .

Definição de Continuidade

Definição 1

(Função contínua) Uma função $f : X \to R$ é contínua em $a \in X$ se $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

Diremos que

f : X \to R

é descontínua em

a \in X

f

não for contínua em

a

, isso ocorre por dois motivos: o limite da função no ponto

x = a

não existe ou ele existe, mas é diferente de

f (a)

. Diremos ainda que

f

é contínua em um conjunto

A \subset X

f

for contínua em todo ponto

a \in A

No Exemplo 1, a função

f

é descontínua em

0

e contínua em

R - {0}

. De fato, para todo

a \neq 0

, teremos

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} (x^{2} + 1) = a^{2} + 1 = f (a)

a < 0

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} x^{3} = a^{3} = f (a)

a > 0

No Exemplo 2, a função

f

é descontínua em

1

e contínua em

R - {1}

. De fato, para todo

a \neq 1

, teremos

lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} | x | = | a | = f (a)

Se $f$ é contínua em $a$ , então $f (x)$ está próximo de $f (a)$ , se $x$ estiver suficientemente próximo de $a$ . Isto é, $f (x)$ tende a $f (a)$ quando $x$ tende a $a$ . Geometricamente, o gráfico de uma função contínua em um ponto $a$ não possui quebra em $a$ . Quando uma função é contínua em um intervalo, seu gráfico pode ser traçado sem nenhuma quebra, isto é, ``sem tirar o lápis do papel''.

Pensando nos gráficos das funções trigonométricas, vemos que

y = \cos (x)

y = sen (x)

são contínuas em todo ponto de

R

, já

y = \tan (x)

y = \sec (x)

são contínuas em todo ponto de seus domínios, ou seja, para

x \neq \frac{π}{2} + k π

y = cotg (x)

y = cossec (x)

são contínuas em

x \neq k π

. Outros exemplos de funções contínuas em todos os pontos de seus domínios são função modular, exponencial, logaritmo, raízes, polinômios e funções racionais.

Observação: Há uma pequena variação na forma como alguns autores definem e trabalham com o conceito de descontinuidade. Lembre-se de que nós definimos, alguns parágrafos acima, que a função ``

f : X \to R

é descontínua em

a \in X

f

não for contínua em

a

'', isto é, só definimos descontinuidade em pontos do domínio da função. Assim, por exemplo, com a nossa definição, não faz sentido falar que (e nem perguntar se)

f (x) = \frac{1}{x - 1}

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

são contínuas ou descontínuas em

x = 1

, pelo simples fato de que

x = 1

não pertence ao domínio destas funções, que é

R - {1}

em ambos os casos. Alguns autores, porém, definiriam que estas funções são descontínuas em

x = 1

; no caso de

f (x) = \frac{1}{x - 1}

, diriam ter uma descontinuidade infinita e, no caso de

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

, uma descontinuidade removível.

Exemplo 3

Vamos verificar a continuidade da função abaixo em $x = 1$ .

f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, & se x < 1. \\ \cos (x - 1) + 1, & se x \geq 1 . \end{cases}

Vamos então ver, pela definição, se $f$ é contínua em $x = 1$ :

lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1^{-}} x + 1 = 2,

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (\cos (x - 1) + 1) = \cos (1 - 1) + 1 = 2,

f (1) = \cos (1 - 1) + 1 = 2

Assim, como $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} f (x) = f (1)$ , temos que o limite de $f$ existe em $x = 1$ e este limite é igual a $f (1)$ . Com isso, $f$ é contínua em $x = 1$ .

Exemplo 4

Vamos verificar a continuidade da função abaixo em $x = 2$ .

f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}{x - 2}, & se x < 2. \\ \sec (x - 2) + 1, & se 2 \leq x < 2 + π / 2 . \end{cases}

Vejamos os limites laterais em $x = 2$ :

lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} \sec (x - 2) + 1 = \sec (0) + 1 = \frac{1}{\cos (0)} + 1 = 2

lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{(x^{2} - 1) (x - 2)}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - 1 = 3

Como os limites laterais são distintos, não existe o limite da $f$ quando $x$ tende a $2$ , portanto a $f$ não pode ser contínua em $x = 2$ .

Exemplo 5

Vamos verificar a continuidade da função abaixo em $x = 0$ e $x = 1$ .

f (x) = {\begin{cases} sen (\frac{1}{x}), & se x < 0. \\ 5, & se 0 \leq x \leq 1 . \\ \frac{x}{1 - x}, & se x > 1 . \end{cases}

Vejamos primeiro os limites laterais quando $x$ tende a $0$ :

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} sen (\frac{1}{x}),

mas esse limite não existe, pois o valor do seno fica oscilando entre -1 e 1 indefinidamente. Portanto, podemos afirmar que a $f$ não é contínua em $x = 0$ .
Analisando agora quando $x$ tende a $1$ :

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{1 - x} = - \infty,

logo a $f$ também não pode ser contínua em $x = 1$ , pois o limite não existe.

Exemplo 6

Vamos verificar se existe algum valor de $b$ , tal que a função abaixo seja contínua em $x = 0$ .

f (x) = {\begin{cases} \frac{e^{x} + 1}{x^{2} + 1}, & se x < 0. \\ b, & se x = 0. \\ 2 + x^{3} sen (\frac{1}{x}), & se x > 0 . \end{cases}

Temos

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{x} + 1}{x^{2} + 1} = \frac{e^{0} + 1}{1} = 2,

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} 2 + x^{3} sen (\frac{1}{x}) = 2 + 0 = 2,

pois pelo Teorema do Anulamento $lim_{x \to 0} x^{3} sen (\frac{1}{x}) = 0$ .

f (0) = b

logo, para que $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$ , precisamos ter $b = 2$ .

Exemplo 7

Verificar se existe algum valor de $b$ , tal que a função abaixo seja contínua em $x = 0$ .

f (x) = {\begin{cases} \frac{sen (| x |)}{x}, & se x < 0 \\ b, & se x = 0 \\ \ln (x + e), & se x > 0 . \end{cases}

Temos

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{sen (| x |)}{x} \underset{x < 0}{=} lim_{x \to 0^{-}} \frac{sen (- x)}{x} \underset{\begin{matrix} o seno \\ é \\ ímpar \end{matrix}}{=} lim_{x \to 0^{-}} \frac{- sen (x)}{x} = - 1,

lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + e) = \ln (e) = 1.

Como os limites laterais são diferentes, não existe $lim_{x \to 0} f (x)$ . Assim, não existe nenhum valor real para $b$ que torne a $f$ contínua em $x = 0$ .

Dizemos que a $f$ é contínua no intervalo fechado $[a, b]$ , quando o for em $(a, b)$ e além disso $lim_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ (continuidade à direita em $a$ ) e $lim_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$ (continuidade à esquerda em $b$ ).

Observação:

f (x)

é contínua em

x = a

, quando para todo

ϵ > 0

dado, existir

δ > 0

, tal que, se

| x - a | < δ

, então

| f (x) - f (a) | < ϵ

. Esta é a definição formal de continuidade, decorrente da definição formal de limite.

Teorema 1

Dadas duas funções, $f$ e $g$ , contínuas em $a$ :

A função soma $f (x) + g (x)$ é contínua em $a$ . (A soma de funções contínuas é contínua.)
A função diferença $f (x) - g (x)$ é contínua em $a$ . (A diferença de funções contínuas é contínua.)
A função produto $c f (x)$ é contínua em $a$ , para todo $c \in R$ . (O produto de uma função contínua por uma constante é contínua.)
A função produto $f (x) \cdot g (x)$ é contínua em $a$ . (O produto de funções contínuas é contínua.)
Se $g (a) \neq 0$ , $\frac{f (x)}{g (x)}$ é contínua em $a$ . (O quociente de funções contínuas é contínua, desde que o denominador não se anule.)

Esse resultado é bem conhecido. Sua demonstração decorre das propriedades análogas de limite.

Exemplo 8

A função $f (x) = \frac{sen (x)}{x^{4} + 1}$ é contínua em $R$ , pois $sen (x)$ e $x^{4} + 1$ são contínuas em $R$ e $x^{4} + 1 \neq 0$ para todo $x \in R$ . Portanto, pelo Teorema 1, o quociente será uma função contínua em $R$ .

Exemplo 9

A função $f (x) = \frac{| x | \cos (x)}{1 - x^{2}}$ é contínua em $R - {- 1, 1}$ . De fato, $| x |$ e $\cos (x)$ são contínuas em $R$ , logo pelo Teorema 1, $| x | \cos (x)$ também é. Além disso, $1 - x^{2}$ é contínua em $R$ e $x^{2} - 1 \neq 0$ para todo $x \in R - {- 1, 1}$ , portanto o quociente será uma função contínua em $R - {- 1, 1}$ .

Exemplo 10

Determinar os valores de $a$ e $b$ reais para que a função $f$ definida abaixo seja contínua em $R$ :

f (x) = {\begin{cases} \frac{sen (x)}{| x |}, & se x < 0 \\ a x + b, & se 0 \leq x \leq 1 \\ \ln (x), & se x > 1 . \end{cases}

Para $x < 0$ , $f (x) = \frac{sen (x)}{| x |}$ é contínua. O mesmo acontece para $x > 1$ , onde $f (x) = \ln (x)$ e para $0 < x < 1$ , onde $f (x)$ é a função afim $a x + b$ , que é contínua independentemente do valor dos parâmetros $a$ e $b$ .

Assim, para que $f$ seja contínua em $R$ , só falta garantir que seja contínua em $0$ e $1$ , ou seja, que $lim_{x \to 0} f (x) = f (0)$ e $lim_{x \to 1} f (x) = f (1)$ .

lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \frac{sen (x)}{| x |} \underset{x < 0}{=} lim_{x \to 0^{-}} \frac{sen (x)}{- x} = - lim_{x \to 0^{-}} \frac{sen (x)}{x} = - 1.

Assim, teremos $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = a \cdot 0 + b = f (0) = lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - 1$ , logo $b = - 1$ . Por outro lado,

lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} \ln (x) = \ln (1) = 0.

Assim, teremos $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = a \cdot 1 + b \underset{b = - 1}{=} a - 1 = f (1) = lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 0$ , logo $a - 1 = 0$ , e então $a = 1$ .

Note que, como $f (x)$ é polinomial para $0 \leq x \leq 1$ , temos também $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0)$ e $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1)$ .

O próximo Teorema nos diz que ``composta de funções contínuas é contínua''.

Teorema 2

Se $g$ é contínua em $x = a$ e $f$ é contínua em $x = g (a)$ , então a função $f \circ g$ , dada por $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ é contínua em $x = a$ .

Exemplo 11

A função definida por $h (x) = sen (x^{2})$ é contínua em $R$ , pois $g (x) = x^{2}$ e $f (x) = sen (x)$ são contínuas em $R$ .

Exemplo 12

A função definida por $F (x) = \ln (1 + \cos (x))$ é contínua em $R - {π + 2 k π, k \in Z}$ . Sabemos que $f (x) = \ln (x)$ é contínua em seu domínio $(0, + \infty)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ é contínua em $R$ , com isso, $f (g (x))$ será contínua sempre que $g (x)$ pertencer ao domínio de $f$ , isto é, sempre que $g (x) > 0$ . Como $\cos (x) ⩾ - 1$ , $g (x)$ só estará fora de $(0, + \infty)$ , que é o domínio de $f$ , quando $1 + \cos (x) = 0$ , logo $\cos (x) = - 1$ , ou seja, $x = π + 2 k π, k \in Z$ . Assim, o domínio de $F = f \circ g$ é $R - {π + 2 k π, k \in Z}$ .