A Derivada - Interpretação Geométrica.

Vimos que, em cada ponto $x_{0}$ , a derivada pode ser calculada como o limite da razão:

\frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} .

A razão mede a inclinação da corda

Observe, na Figura (REF NÃO APARECENDO) que essa razão é, para cada $x$ , a inclinação da corda do arco do gráfico entre $(x, f (x))$ e $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

$x$ se aproxima de $x_{0}$

Quando $x$ se aproxima de $x_{0}$ , a direção da corda se aproxima da direção tangente ao gráfico. No limite, temos a direção tangente.

Vemos, então, que $f^{'} (x_{0})$ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ em $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

Qual será, então, a equação da reta tangente? Como o coeficiente angular é $f^{'} (x_{0})$ , temos:

y = f^{'} (x_{0}) x + b .

Como $(x_{0}, f (x_{0}))$ é um ponto da reta, escrevemos $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ e a expressão está dada. Note que a equação dessa reta é exatamente a aproximação que buscamos quando definimos derivada. Nesse momento, é conveniente organizar um pouco o que já sabemos.

Inicialmente procuramos uma aproximação para $f (x)$ , perto de $x = x_{0}$ , da forma:
$f (x) \approx f (x_{0}) + a (x - x_{0}) .$
Fizemos algumas restrições sobre as propriedades dessa aproximação.
Definimos a derivada como sendo o valor de $a$ na aproximação, quando existisse.
Nesse caso, passamos a denotar a derivada por $f^{'} (x_{0})$ e, consequentemente, a escrever:
$f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .$
Verificamos que, se a aproximação existisse, $f^{'} (x_{0})$ poderia ser calculada como:
$f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} .$
Verificamos que o valor desse limite é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_{0}, f (x_{0})) .$
Concluímos que a reta que aproxima $f$ , na nossa pergunta inicial, é justamente essa reta tangente.

Vamos explorar um pouco todas as informações que obtivemos até agora.

Exemplo 1

Se $f (x) = 3 x + β$ , qual será a derivada de $f$ em algum ponto do seu domínio?

Solução

No caso dessa função, o gráfico já é uma reta. A tangente a qualquer reta, em qualquer ponto, é a própria reta. E como a derivada mede o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico, concluímos que, em qualquer valor de $x$ , $f^{'} (x) = 3$ .

Exemplo 2

Se $f (x) = x^{2}$ , quanto vale a derivada de $f$ em $x = 0$ ?

Solução

Não é difícil ver que a reta tangente ao gráfico de $f$ em $(0, 0)$ é o próprio eixo $\hat{x}$ , que tem coeficiente angular $0$ . Portanto, $f^{'} (0) = 0$ .

Exemplo 3

Como comparamos as derivadas de duas funções cuja diferença é uma constante? Observe que as direções tangentes não se alteram quando deslocamos o gráfico verticalmente. Nesse caso, as derivadas, em cada ponto, são iguais.

Exemplo 4

Conhecendo o gráfico da função é possível determinar o sinal da derivada. Na figura a seguir vemos que o coeficiente angular da reta tangente é positivo para valores de $x$ menores que $A$ , muito próximo a $0$ em $x = A$ e negativo em $x > A$ .

Suponha que a figura acima representa o gráfico de uma função $f (x)$ . A pergunta chave é: existe relação entre o sinal da derivada e alguma propriedade de $f$ ? Vamos analisar o comportamento da função imaginando que caminhamos sobre o eixo $x$ , começando em algum valor de $x < A$ . É possível ver que, à medida que $x$ cresce, os valores de $f (x)$ também aumentam até que chegamos a $x = A$ , quando o valor de $f (x)$ atinge um máximo. Dizemos, nesse caso, que existe um intervalo $(A - b, A), b > 0$ , no qual $f$ é crescente. Observamos que, nesse intervalo, o sinal da derivada é positivo.

Se continuarmos caminhando sobre o eixo $x$ a partir de $A$ , sempre na direção positiva, vemos que à medida que $x$ cresce, o valor de $f (x)$ diminui. Nesse caso, constatamos que existe um intervalo $(A, A + b), b > 0$ , em que $f$ é uma função decrescente. Notamos que nesse intervalo o sinal da derivada é negativo.

A partir dessas observações, é natural investigar se essa associação entre o sinal da derivada e o crescimento/decrescimento de uma função é uma propriedade que vale para uma função diferenciável qualquer.

Dada uma função $f$ qualquer, diferenciável em algum intervalo $I$ , vamos fixar $x_{0}$ em I. Suponha que $f^{'} (x_{0})$ é positivo. Para algum $x \in I$ , escrevemos:

\begin{matrix} (1) & f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + e r r o (x) \end{matrix}

Imagine que, na equação 1, $x > x_{0}$ e que $x$ está suficientemente próximo de $x_{0}$ de tal modo que o valor de $e r r o (x)$ é desprezível.

Podemos supor isso pela definição de derivada

Nesse caso, podemos dizer que $f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) > 0$ (pois $f^{'} (x_{0}) > 0$ e $x > x_{0}$ ) e, portanto, $f (x) > f (x_{0})$ . Por outro lado, se $x < x_{0}$ , $f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ é negativo e $f (x) < f (x_{0})$ . Argumentando desse modo, é possível mostrar que se $f^{'} (x_{0}) > 0$ existe um intervalo em torno de $x_{0}$ no qual $f$ é crescente. Analisando a mesma expressão 1 também é possível concluir que, se $f$ é diferenciável e crescente em um intervalo, a derivada de $f$ é não negativa nesse intervalo. Basicamente, se $f$ é crescente, $f (x) > f (x_{0})$ quando $x > x_{0}$ e, para que isso aconteça, $f^{'} (x_{0})$ não pode ser negativa de acordo com a expressão. Aqui, é importante observar que, em alguns casos, se a função é crescente em um intervalo, a derivada pode se anular em pontos isolados desse intervalo como no exemplo de

f (x) = x^{3},

discutido ao final dessa seção. Todavia, não será negativa em ponto algum.

Um raciocínio análogo permite concluir que $f^{'} (x_{0}) < 0$ então existe um intervalo em torno de $x_{0}$ no qual $f$ é decrescente. Por exclusão, podemos concluir que $f^{'} (x)$ vale $0$ em um intervalo se e somente se $f$ é constante naquele intervalo (faça um desenho para entender essa afirmação geometricamente).

Para organizar as ideias, escrevemos:

Seja $f (x)$ uma função diferenciável em um intervalo $I$ . Então:

Se para algum $x_{0} \in I$ , $f^{'} (x_{0}) > 0$ então existe um Intervalo $J_{x_{0}} \subset I$ em torno de $x_{0}$ em que $f$ é crescente.
Se para algum $x_{0} \in I$ , $f^{'} (x_{0}) < 0$ então existe um Intervalo $J_{x_{0}} \subset I$ em torno de $x_{0}$ em que $f$ é decrescente.
Se $f$ é crescente em um intervalo $J \subset I$ , então $f^{'} (x) \geq 0$ se $x \in J$ .
Se $f$ é decrescente em um intervalo $J \subset I$ , então $f^{'} (x) \leq 0$ se $x \in J$ .
Se em algum intervalo $J \subset I$ , $f^{'} (x) = 0$ , então $f$ é constante em $J$ .

Esta última afirmação é mais sutil. Veremos mais adiante no curso, que decorre do Teorema do Valor Médio.

Observe no próximo exemplo que a derivada pode ser nula em algum ponto no interior de um intervalo onde a função é crescente (ou decrescente).

Exemplo 5

Considere a função $f (x) = x^{3}$ . Como pode ver no gráfico abaixo, a função é crescente em todo o seu domínio e $f^{'} (x)$ se anula apenas no ponto $x = 0$ , sendo positiva em todos os outros pontos.

Vimos alguns exemplos de como explorar o que já sabemos sobre derivadas, usando o gráfico. A lista de exercícios cuida bastante dessa ideia também.