1. Gráfico de $y=-3x-2$

   

   
   

   Gráfico de $y=2(x+1)-3$

   

2. Estudo do sinal das expressões anteriores:

1. $$y=-3x-2>0 \iff x<-\frac{2}{3};$$ $$y=-3x-2<0 \iff x>-\frac{2}{3};$$ $$y=-3x-2=0 \iff x=-\frac{2}{3}.$$
2. Notemos que $y=2(x+1)-3=2x+2-3=2x-1$. Assim
   $$y=2(x+1)-3>0 \iff x<\frac{1}{2};$$
   $$y=2(x+1)-3<0 \iff x>\frac{1}{2};$$ $$y=2(x+1)-3=0 \iff x=\frac{1}{2}.$$

A equação da reta é $y=-4x+3$, com gráfico:

$\theta = \dfrac{3\pi}{4} radianos$, e o gráfico de $y=-x+2$ é:

A equação da reta é $y=\frac{3}{7}x+\frac{4}{7}$. As interseções com os eixos coordenados são os pontos $(0,\frac{4}{7})$ e $(-\frac{4}{3}, 0)$.

1. $y=4x^2+3x-1$

   • Raízes: $x=-1$ e $x=\frac{1}{4}$

   • Estudo de sinal:

     $$4x^2+3x-1>0 \iff x<-1 \text{ ou } x>\frac{1}{4}$$

     .

     $$4x^2+3x-1<0 \iff -1 < x < \frac{1}{4}$$

     .

     $$4x^2+3x-1=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=\frac{1}{4}$$

   • Gráfico:

     

2. $y=-2x^2+x+3$

   • Raízes: $x=\frac{3}{2}$ e $x=-1$

   • Estudo de sinal:

     $$-2x^2+x+3>0 \iff -1<x<\frac{3}{2}$$ $$-2x^2+x+3<0 \iff x<-1 \text{ ou } x>\frac{3}{2}$$ $$-2x^2+x+3=0 \iff x=-1 \text{ ou } x=\frac{3}{2}$$

   • Gráfico:

     

3. $y=x^2-2\sqrt{2}x+2$

   • Raízes: $x=\sqrt{2}$

   • Estudo de sinal:

     $$x^2-2\sqrt{2}x+2>0 \iff x<\sqrt{2} \text{ ou } x>\sqrt{2}$$ $$x^2-2\sqrt{2}x+2>0 \iff x=\sqrt{2}$$

   • Gráfico:

     

4. $y=-4x^2-4x-1$

   • Raízes: $x=-\frac{1}{2}$

   • Estudo de sinal:

     $$y=-4x^2-4x-1<0 \iff x<-\frac{1}{2} \text{ ou } x>-\frac{1}{2}$$ $$y=-4x^2-4x-1=0 \iff x=-\frac{1}{2}$$

   • Gráfico:

     

5. $y=x^2+x+1$

   • Raízes: Não existem raízes reais.

   • Estudo de sinal: $x^2+x+1>0$, para todo $x\in\mathbb{R}$.

   • Gráfico:

     

6. $y=-2x^2+x-4$

   • Raízes: Não existem raízes reais.

   • Estudo de sinal: $-2x^2+x-4>0$, para todo $x\in\mathbb{R}$.

   • Gráfico:

     

Para a fatoração, vamos usar as raízes reais encontradas no exercício anterior.

1. $y=4x^2+3x-1=4(x+1)(x-\frac{1}{4})$

2. $y=-2x^2+x+3=2(x-\frac{3}{2})(x+1)$

3. $y=x^2-2\sqrt{2}x+2=(x-\sqrt{2})^2$

4. $y=-4x^2-4x-1=-4(x+\frac{1}{2})^2$

1. Calculamos $y(2)=60 \text{ metros}$.

2. O gráfico de $y(t)$ é uma parábola com concavidade para baixo, portanto a altura máxima é atingida em seu vértice, $t_{v}=4$ e $y(t_{v})=y(4)=80 \text{ metros}$.

3. Gráfico em $0\leq t\leq 8$:

   

4. Devemos resolver a equação $y(t)=75 \iff 40t-5t^2 = 75 \iff t^2-8t + 15 = 0$. As raízes são $t=3$ e $t=5$, como pede-se no momento da subida, consideramos o menor valor do tempo. Assim, o tempo é em $t=3$ segundos.

Vamos chamar os lados do retângulo de $x$ e $y$, por hipótese o perímetro $2x + 2y$ é igual a $80$, logo $2x+2y=80 \iff y=40-x$. A área é dada pela função quadrática $A(x)=x(40-x)=40x-x^2, x>0$. Seu gráfico tem concavidade para baixo, logo no vértice ocorre o ponto de máximo da área, a saber, $x_{v}=20$. Portanto, um dos lados mede $20\text{ cm}$ e o outro também, pois $y=40-x=20$. Assim, entre esses retângulos, o de maior área é o quadrado de lado $20\text{ cm}$, cuja área é $400\text{ cm}^2$:

1. Estudamos o sinal de $-x^2 + 4x$, cujas raízes são $0$ e $4$ com concavidade para baixo, logo $-x^2+4x<0$ em $(-\infty; 0) \cup (4,\infty)$.

2. Devemos fazer o produto dos sinais das expressões que aparecem no numerador e no denominador. O numerador é sempre positivo, pois não possui raízes reais e a concavidade da parábola associada é para cima, logo o sinal depende apenas do sinal do denominador (que não pode se anular) que é positivo se $x>1$. Logo, o conjunto solução é igual a $(1,\infty)$.

3. Cuidado, não pode cancelar o denominador, pois $x+3$ troca de sinal! Ou seja, $x+3<0$ quando $x<-3$, o que levaria a uma inversão do sinal “$>$” e para $x>-3$ não haveria a inversão, o que implicaria na abertura de dois casos diferentes e mais trabalho... Assim, vamos escrever uma inequação equivalente:

   $$\frac{x^2}{x+3}>\frac{4}{x+3} \iff \frac{x^2}{x+3}-\frac{x^2}{x+3}>0 \iff \frac{x^2-4}{x+3}>0$$

   Agora, podemos fazer o produto dos sinais entre a expressão $x^2-4$ e $x+3$, para obter que $\dfrac{x^2-4}{x+3}$ é positiva quando $x\in(-3,-2)\cup(2,\infty)$.

1. $\{x\in\mathbb{R};x\neq\pm3\}$

2. $\{x\in\mathbb{R};0\leq x\leq 4\}$

3. Todo número real, ou seja, $\mathbb{R}$.

A restrição para que a expressão dada esteja bem definida é $4-x^2>0 \iff x\in (-2,2)$. Portanto, qualquer subconjunto de $(-2, 2)$ pode ser usado como domínio.

1. $[-2, 0) \cup (0; 2]$, não pode, pois $-2$ e $2$ não pertencem ao intervalo aberto $(-2,2)$:

2. $(-2, 1]$, pode.

3. $(0,+\infty)$, não pode.

4. $[-0.1, 1.99]$, pode, já que $1,99<2$.

5. $[-1.999...., 1.999...)$, não pode, pois $-1.999... =-2$, logo $[-1.999...., 1.999...)=[-2,2)$ não está contido em $(-2,2)$.

6. $\{0,\pm\frac{1}{2},\pm1\}$, pode.

O gráfico da função $f$ é um arco de parábola com vértice em $(0,2)$ e concavidade para cima. Observe que, $-2<x\leq 1 \Rightarrow 0\leq x^2<4 \Rightarrow 2 \leq x^2+2<6$, logo $Im(f)=[2,6)$.

1. $g(x)=x+\sqrt{2},x\in[2-\sqrt{2},6-\sqrt{2})$. O gráfico é um segmento de reta e $2-\sqrt{2}\leq x<6-\sqrt{2} \iff 2 \leq x+\sqrt{2}<6$, logo $Im(f)=[2,6)$, portanto possui o mesmo conjunto imagem.

2. $g(x)=\dfrac{1}{x}+1, x\in (1/5,1]$. O gráfico é um arco de hipérbole e $1/5<x\leq 1 \iff 1\leq 1/x < 5 \iff 2 \leq 1+1/x<6$, logo $Im(f)=[2,6)$, portanto possui o mesmo conjunto imagem.

3. $g(x)=-2x, x\in (-2,-1]$. O gráfico é um segmento de reta e $-2<x\leq -1 \iff -4<2x\leq -2 \iff 4 > -2x\geq2$, logo $Im(f)=[2,4)$, portanto NÃO possui o mesmo conjunto imagem.

1. Falsa. Para duas funções serem iguais, devem ter o mesmo domínio, a mesma imagem em cada ponto do domínio e além disso o contradomínio também deve ser o mesmo. Por exemplo, as seguintes funções possuem mesmo domínio $\mathbb{R}$ e mesmo conjunto imagem $\mathbb{R}$, mas são diferentes:

   \[\begin{array}{cccc}f : & \! \mathbb{R} & \! \longrightarrow &\! \mathbb{R} \\ & \! x & \! \longmapsto & \! x.\end{array}\]

   e

   \[\begin{array}{cccc}g : & \! \mathbb{R} & \! \longrightarrow &\! \mathbb{R} \\ & \! x & \! \longmapsto & \! -x.\end{array}\]

2. Falsa. Essas retas são horizontais, por exemplo $f(x)=2, x\in\mathbb{R}$ significa que $y=2$, qualquer que seja o valor de $x$. Idem para $g$.

3. Falsa. Essa reta é vertical ($x=1$, qualquer que seja o valor de $y$).

4. Falsa. O domínio maximal da $g$ é $\mathbb{R}$, mas o domínio maximal da $f$ é $(-\infty,-1/2) \cup (-1/2;+\infty)$, pois o denominador não pode se anular. Então, seus domínios são diferentes. Logo, as funções não podem ser iguais, apesar de terem a mesma imagem em cada ponto de $(-\infty,-1/2) \cup (-1/2,+\infty)$

   $$\left(f(x)=\frac{4x^2-1}{2x+1}=\dfrac{(2x-1)(2x+1)}{2x+1}=2x-1, \forall x\in(-\infty,-1/2)\cup(-1/2,+\infty).\right)$$

5. Falsa. O gráfico possui interseção com o eixo $y$, a saber, no ponto $(0,1)$.

6. Verdadeira Primeiro, observe que $f(x)=\frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2+4}=x^2-4, \forall x\in\mathbb{R}$, logo o gráfico da função $f$ coincide com o gráfico da função $g(x)=x^2-4, \forall x\in\mathbb{R}$, que é uma parábola com concavidade para cima, simétrica em relação ao eixo $y$, que possui interseção com o eixo $y$ no ponto $(0,-4)$.

Para $x<-2$, a função é constante e igual a $3$. Para $-2\leqslant x\leqslant 3$, a função é linear com $f(x)=x$. Com $3<x\leqslant 6$, a função é afim com $f(x)=6-x$. Para $x\geqslant 6$, temos $f(x)=0$. Assim, podemos escrever

$$f(x)=\begin{cases} 3 & \text{se } x<-2 \\x & \text{se } -2 \leqslant x < 3 \\6-x & \text{se } 3 \leqslant x < 6 \\0 & \text{se } x \geqslant 6. \end{cases} $$

Observe que pudemos escolher onde colocar a igualdade para $x=3$ e $x=6$, pois as expressões definidas em condições que têm extremos nestes pontos têm o mesmo valor. Não é o caso de $x=-2$.

 

Como $tg=\sqrt{5}$, temos que

$$\dfrac{\mathrm{sen}(x)}{\mathrm{cos}(x)}=\sqrt{5} \therefore \mathrm{sen}(x)=\sqrt{5}\space\mathrm{cos}(x).$$

Além disso, como $\mathrm{cos}^2(x)+\mathrm{sen}^2(x)=1$, temos

$$\mathrm{cos}^2(x)+\left(\sqrt{5}\space\mathrm{cos}(x)\right)^2=1,$$

logo

$$\mathrm{cos}^2(x)+5\mathrm{cos}^2(x)=1,$$

e, portanto,

$$6\space\mathrm{cos}^2(x)=1.$$

Assim,

$$cos^2(x)=\frac{1}{6},$$

o que implica

$$\mathrm{cos}(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}.$$

Como $x\in[0,\pi/2)$, seu cosseno será positivo, logo

$$\mathrm{cos}(x)=\frac{1}{\sqrt{6}}.$$

Temos ainda

$$\mathrm{sen}(x)=\sqrt{5}\space\mathrm{cos}(x)=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.$$

1. $S={x\in\mathbb{R}: x=5\pi/4+2k\pi \text{ ou } x=-\pi/4+2k\pi,k\in\mathbb{Z}}$

2. $S={x\in\mathbb{R}: x=\pm\pi/3+2k\pi \text{ ou } x=\pi/2+k\pi,k\in\mathbb{Z}}$

1. $-\pi/4+2k\pi<x<5\pi/4+2k\pi$

2. $-\pi/2+k\pi<x<\pi/3+k\pi$

3. $-\pi/3+2k\pi\leqslant x\leqslant\pi/3+2k\pi$