Dada uma função $f$, vimos que $f'(x_0)$ pode ser calculada como limite da razão:
\begin{equation}\tag{1}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\end{equation}Se essa função $f$ representa algum fenômeno físico que depende da grandeza $x$, sabemos que quando a grandeza varia entre $x$ e $x_0$, o valor medido varia entre $f(x)$ e $f(x_0)$. Assim, a expressão 1 mede a razão entre a varição do fenômeno e a variação da grandeza do qual ele depende. Ou seja, mede uma taxa de variação média desse fenômeno.
Suponha que $f(t)$ descreve a posição de um objeto em movimento no tempo. A expressão 1 será:
$$\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}.$$Nesse caso o numerador mede a variação da posição do objeto e o denominador mede a variação do tempo. Então temos uma velocidade média. Se calcularmos a derivada, isto é, se tomarmos $\lim_{ t \to t_0}$ teremos uma espécie de velocidade "média", medida em um intervalo de tempo muito pequeno, porque $t$ esté tendendo para $t_0$. Nesse caso, a derivada é, frequentemente chamada de velocidade instantânea
Suponha que $f(t)$ meça a velocidade de um objeto em movimento, quando o tempo varia. Nesse caso, a razão 1 vai medir a variação da velocidade desse objeto com o tempo. Isso seria a aceleração média. Quando fazemos a derivada ($t$ tende a $t_0$) estamos calculando a aceleração instantânea em $t_0$.