Até agora, estudamos como derivar somas, produtos e quocientes. Nessa parte, queremos estudar a derivação das funções compostas. Em linhas gerais, dadas duas funções $f$ e $g$, queremos relacionar a derivada de $f \circ g$ com as derivadas de $f$ e $g$ (se existirem).
Vamos lembrar o que significa exatamente a composição. Dado um valor $x_0$ no domínio de $g$, $(f\circ g )(x_0)$ significa que primeiro calculamos $g(x_0)$, e depois (supondo que $g(x_0)$ esteja no domínio de $f$), avaliamos $f(g(x_0))$. Como fizemos na parte de limites, representamos essa composição pelo diagrama:
\[\begin{array}{ccccc}x_0 &\stackrel{g}\longmapsto & g(x_0)& \stackrel{f} \longmapsto & f(g(x_0)).\end{array}\]
Suponha que estamos lidando com a função $h(x) = \sqrt{x^2+x}$, que é uma função composta. Temos duas funções envolvidas; uma, calcula a raiz e a outra calcula $x^2 +x$. Consideramos $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 + x$ em ambos os casos com domínio em $\mathbb R^+$. Se tomarmos um elemento $x$, a primeira "operação" será calcular $x^2 + 2x$, ou seja, avaliar $g$. A segunda operação será avaliar a raiz (calcular $f$). Podemos representar como:
\[\begin{array}{ccccc}\mathbb R^+ & \stackrel{g}\longrightarrow & \mathbb R^+ & \stackrel{f}\longrightarrow & \mathbb R^+ \\x & \mapsto & g(x) & \mapsto & f(g(x)).\end{array}\]
A tabela a seguir define valores para duas funções reais $f$ e $g$. Quanto vale $(f\circ g) (2)$?
| $x$ | $f(x)$ | $g(x)$ |
| $2$ | $7$ | $5$ |
| $7$ | $3$ | $5$ |
| $5$ | $3$ | $0$ |
Para calcular $(f \circ g)(2)$, verificamos na tabela que $g(2) = 5$ e então, calculamos $f(5) = 3$. Ou seja:
\[\begin{array}{ccccc}\mathbb R & \stackrel{g}\longrightarrow & \mathbb R & \stackrel{f}\longrightarrow & \mathbb R \\2 & \mapsto & 5 & \mapsto & 3.\end{array}\]Assim, $(f\circ g)(2) = 3$.
É muito importante entender como a composição é feita e, por isso, insistimos em mais alguns exemplos.
Considere $h(x) = \cos^3 (e^{\mathrm{sen} (x^4 - 2)}) $. Temos aqui um conjunto grande de funções envolvidas. Vamos separar cada uma delas: $w(x) = \cos(x)$, $u(x) = x^3$, $v(x) = e^x$, $z(x) = \mathrm{sen}(x)$, $s(x) = x^4 - 2$. Qual a ordem de composição?
Se escolhermos um valor $x$, o primeiro cálculo seria obter $x^4 -2$. Representamos por $x \stackrel{\textcolor{blue} s}\mapsto x^4 -2$. Uma vez feito isso, avaliamos o valor do seno:
\[x \stackrel{\textcolor{blue} s}\mapsto x^4 -2 \stackrel{\textcolor{blue} z}\mapsto \mathrm{sen} (x^4-2).\]O próximo passo é calcular a exponencial. Podemos representar:
\[x \stackrel{\textcolor{blue} s}\mapsto x^4 -2 \stackrel{\textcolor{blue} z}\mapsto \mathrm{sen} (x^4-2) \stackrel{\textcolor{blue} v}\mapsto e^{\mathrm{sen} (x^4 - 2)}.\]Feito isso, temos que avaliar o cosseno. E escrevemos:
\[x \stackrel{\textcolor{blue} s}\mapsto x^4 -2 \stackrel{\textcolor{blue} z}\mapsto \mathrm{sen} (x^4-2) \stackrel{\textcolor{blue} v}\mapsto e^{\mathrm{sen} (x^4 - 2)} \stackrel{\textcolor{blue} w}\mapsto \cos(e^{\mathrm{sen} (x^4 - 2)}).\]E, finalmente, elevamos ao cubo:
\[x \stackrel{\textcolor{blue} s}\mapsto x^4 -2 \stackrel{\textcolor{blue} z}\mapsto \mathrm{sen} (x^4-2) \stackrel{\textcolor{blue} v}\mapsto e^{\mathrm{sen} (x^4 - 2)} \stackrel{\textcolor{blue} w}\mapsto \cos(e^{\mathrm{sen} (x^4 - 2)})\stackrel{\textcolor{blue} u}\mapsto \cos^3 (e^{\mathrm{sen} (x^4 - 2)}).\]Lendo da direita para esquerda, temos $h(x) = (u\circ w \circ v \circ z \circ s) (x) $.
A tabela a seguir informa valores de várias funções em pontos $x$ especificados. Quanto vale $(v \circ w \circ u \circ s \circ t) (1)$?
| $x$ | $u$ | $v$ | $w$ | $t$ | $s$ |
| $1$ | $3$ | $2$ | $-1$ | $\pi$ | $0$ |
| $\pi$ | $5$ | $3$ | $0$ | $-2 $ | $-3$ |
| $-2 $ | $0$ | $e$ | $4$ | $ 5$ | $\sqrt{2}$ |
| $0$ | $1$ | $\pi$ | $-2$ | $6 $ | $0$ |
| $-3$ | $0$ | $-2$ | $1$ | $0$ | $-2$ |
Trabalhando com o diagrama e observando (sempre) a ordem de composição:
\[1\stackrel{\textcolor{blue}t}\mapsto \pi \stackrel{\textcolor{blue}s}\mapsto -3 \stackrel{\textcolor{blue}u}\mapsto 0 \stackrel{\textcolor{blue}w}\mapsto -2 \stackrel{\textcolor{blue}v}\mapsto e.\]E, portanto, $(v \circ w \circ u \circ s \circ t) (1) = e$.
Nosso interesse, agora, é discutir como podemos derivar uma função composta. Imagine, então, que queremos derivar $f\circ g$ em um ponto $x_0$. Analisando o diagrama:
\[\begin{array}{ccccc}x_0 &\stackrel{g}\longmapsto & g(x_0)& \stackrel{f} \longmapsto & f(g(x_0))\end{array}\]É razoável imaginar que precisaremos da derivada de $g$ em $x_0$ e da derivada de $f$ em $g(x_0)$. De fato, nosso resultado fundamental, formalizado no Teorema a seguir, diz exatamente que, com as hipóteses adequadas $(f\circ g)' (x_0) = f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$.
A Regra da Cadeia
Sejam $I$ e $J$ dois intervalos não triviais, $g: J \to \mathbb{R}$ derivável em $x \in J$ e $f: I \to \mathbb{R}$. Suponha que $g(x) \in I$ para todo $ x\in J$ e $f$ é derivável em $g(x)$. Então a função composta $f \circ g$ é derivável em $x$ e $$(f \circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$$
A demonstração geral não será feita neste curso, mas faremos (nos exemplos) uma prova para um caso particular (ver Livro do CEDERJ, Calculo I, vol I, pg. 114).
Em termos pouco formais, diríamos que a Regra da Cadeia trata do caso de funções "encadeadas" na forma:
\[\begin{array}{ccccc}x_0 &\stackrel{g}\longmapsto & g(x_0)& \stackrel{f} \longmapsto & f(g(x_0)),\end{array}\]E diz que cada uma das ``setas/funções'' deve ser derivada separadamente e avaliada no ponto correto.
Seja $p$ um polinômio arbitrário e considere a função $f(x)=\mathrm{sen}(p(x))$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Então $f$ é derivável em $\mathbb{R}$ e:
$$f'(x)=p'(x) \cos (p(x)),\ \text{para todo}\ x \in \mathbb{R}.$$Já sabemos que $p$ é derivável em $\mathbb{R}$ e que a função $f_1(x)=\mathrm{sen} (x)$ é derivável em $\mathbb{R}$. Como $f = f_1 \circ p$, aplicando a Regra da Cadeia segue que $f$ é derivável em $\mathbb{R}$ e:
$$f'(x) = (f_1 \circ p)'(x)= f_1'(p(x))p'(x)= p'(x) \cos (p(x)).$$
Ou seja, analisando a ordem de composição:
\[\begin{array}{ccccc}x &\stackrel{p}\longmapsto & p(x)& \stackrel{f_1} \longmapsto & f_1(p(x)).\end{array}\]Derivamos a última função ($f_1)$ e avaliamos no ponto em que ela foi calculada. Derivamos $p$ e avaliamos no ponto em que foi calculado e, então, multiplicamos os resultados. Em particular, se $f(x)= \mathrm{sen} (4x^3 - x^2 + 8)$, então
$$f'(x) = (12x^2-2x) \cos(4x^3 -x^2+8).$$Seja $p$ um polinômio arbitrário e seja a função $f(x)=\cos (p(x))$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Então $f$ é derivável em $\mathbb{R}$ e:
$$f'(x)= - p'(x)\ \mathrm{sen} (p(x)),\ \text{para todo}\ x \in \mathbb{R}.$$A prova é análoga a que feita no exemplo 5. Em particular, se $f(x)= \cos (3x^7 + 5 x^4 - 2x)$, então:
$$f'(x) = -(21x^6+20x^3-2)\ \mathrm{sen} (3x^7 + 5x^4 - 2x).$$
Seja $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ para todo $x \in (-\infty,-1] \cup [1, \infty)$. Sabemos que $f(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{2}}$, e que $x^2-1$ é derivável em $(-\infty,-1] \cup [1,\infty)$. Para $x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)$, aplicando a regra da cadeia obtemos que $f$ é derivável em $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$ e:
$$\begin{array}{lll}f'(x)& = &\dfrac{1}{2} (x^2-1)^{\dfrac{1}{2}-1} (x^2-1)' \\& & \\& = & \dfrac{1}{2} (x^2 - 1)^{-\dfrac{1}{2}} (2x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}. \\\end{array}$$Fica como exercício mostrar que $f$ não é derivável para $x=-1$ e $x=1$. (Dica: aplicar a definição de derivada nesses pontos).
Seja $f(x)= \mathrm{sen} ^3(2x^3 - 5x + 3)$ para todo $x \in \mathbb{R}$, calcular $f'(x)$. Se consideramos $f_1(x) = \mathrm{sen} (x)$ e $f_2(x)=2x^3-5x+3$, é claro que $f(x)=[(f_1 \circ f_2)(x)]^3$
$$f'(x)=3[(f_1 \circ f_2)(x)]^2 (f_1 \circ f_2)'(x).$$Aplicando a Regra da Cadeia para $f_1$ e $f_2$, obtemos $$(f_1 \circ f_2)'(x)=f_1'(f_2(x))\ f_2'(x)= \cos (2x^3-5x+3) (6x^2-5).$$
Finalmente, tem-se
$$f'(x)=3(\mathrm{sen} ^2(2x^3 - 5x + 3)) (\cos (2x^3-5x+3)) (6x^2-5).$$
Vale a pena olhar com um pouco mais de cuidado como ficaria o enunciado da regra da cadeia para mais que duas funções. Na verdade, já usamos essa possibilidade nos exemplos, como em 8. Vamos imaginar que queremos derivar a função $h = f \circ g \circ u \circ w \circ v$. O resultado formal diz que $(f\circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$. Podemos definir $f_1(x) := g \circ u \circ w \circ v (x)$ e reescrever o problema como: calcule $(f \circ f_1)'(x)$. Aqui, aplicamos a regra da cadeia diretamente para obter:
\[h'(x) = f'(f_1(x))(f_1)' (x).\]E agora temos o problema de calcular $(f_1)'(x)$. Como $f_1(x) := g \circ u \circ w \circ v (x)$, podemos definir $f_2(x):= u \circ w \circ v (x)$ e temos o problema de calcular a derivada de $g\circ f_2(x)$. Podemos tornar a usar a regra da cadeia para duas funções para concluir que $(g\circ f_2)'(x) = g'(f_2(x)). (f_2)'(x)$. É possível proceder assim sucessivas vezes e, depois, substituir as funções $f_1$, $f_2$, etc para chegar no resultado. Esse processo não é difícil mas muitas pessoas preferem pensar em termos de algum diagrama de composição. Nesse caso, temos que a ordem de composição seria representada por:
\[x \stackrel{\textcolor{blue} v}\mapsto v(x) \stackrel{\textcolor{blue} w}\mapsto w(v(x)) \stackrel{\textcolor{blue} u}\mapsto u(w(v(x))) \stackrel{\textcolor{blue} g}\mapsto g(u(w(v(x))))\stackrel{\textcolor{blue} f}\mapsto f(\dots).\]Segundo a regra da cadeia, devemos derivar cada "seta (função)" separadamente e avaliar no ponto em que a função foi aplicada. Derivamos a última função $f$ e avaliamos aonde $f$ foi inicialmente avaliada para ter $f'(g(u(w(v(x)))))$. Passamos à penúltima seta com a função $g$. Derivamos g e avaliamos no ponto correto para ter $g'(u(w(v(x)))$. Passamos à função anterior $u$; derivamos $u$ e avaliamos em $w(v(x))$ para obter $u'(w(v(x)))$, derivamos $w$ e avaliamos em $v(x)$ e, finalmente, derivamos $v$ e avaliamos em $x$. Multiplicando os resultados, temos:
\[h'(x) = f'(g(u(w(v(x)))))g'(u(w(v(x)))u'(w(v(x)))w'(v(x))v'(x).\]$f'(g(u(w(x))))$. Passamos à penúltima seta com a função $g$. Derivamos g e avaliamos no ponto correto para ter $g'(u(w(x))$. Passamos à função anterior $u$; derivamos $u$ e avaliamos em $w(x)$ para obter $u'(w(x))$ e, finalmente, derivamos $w$ e avaliamos em $x$. Multiplicando os resultados, temos:
\[h'(x) = f'(g(u(w(x))))g'(u(w(x))u'(w(x))w'(x).\]Calcule a derivada de $h(x) = \mathrm{sen} \left(e^{\sqrt{\cos (x^2)}}\right)$, $x \in (0, \sqrt{\pi/2})$.
Podemos observar a ordem de composição para escrever:
$$x \stackrel{\textcolor{blue} (\cdot)^2}\longmapsto x^2 \stackrel{\textcolor{blue} \cos(\cdot)}\longmapsto \cos(x^2)\stackrel{\textcolor{blue}{ \sqrt{\cdot}}}\longmapsto\sqrt{\cos (x^2)} \stackrel{\textcolor{blue} e^{(\cdot)}}\longmapsto e^{\sqrt{\cos (x^2)}} \stackrel{\textcolor{blue} sen (\cdot)}\longmapsto \mathrm{sen} \left(e^{\sqrt{\cos (x^2)}}\right).$$Vamos derivar uma função de cada vez. Indicamos em baixo de cada chave a derivada da operação executada; se a função é ``calcular raiz'', por exemplo, indicamos a função como $\sqrt{\cdot}$ e a derivada como $\frac{1}{2\sqrt{(\cdot)}}$. O ponto representa que o argumento da função será avaliado posteriormente.
$$x \stackrel{\textcolor{blue} (\cdot)^2}{\underbrace{\longmapsto}_{2(\cdot)}} x^2 \stackrel{\textcolor{blue} \cos(\cdot)}{\underbrace{\longmapsto}_{-\mathrm{sen} (\cdot)}} \cos(x^2)\stackrel{\textcolor{blue}{ \sqrt{\cdot}}}{\underbrace{\longmapsto}_{\frac{1}{2\sqrt{(\cdot)}}}}\sqrt{\cos (x^2)} \stackrel{\textcolor{blue} e^{(\cdot)}}{\underbrace{\longmapsto}_{e^{(\cdot)}}} e^{\sqrt{\cos (x^2)}} \stackrel{\textcolor{blue} sen (\cdot)}{\underbrace{\longmapsto}_{\cos(\cdot)}} \mathrm{sen} \left(e^{\sqrt{\cos (x^2)}}\right).$$Temos, pois, a derivada de cada uma das funções. Agora, basta avaliar cada uma das derivadas corretamente e multiplicar, para obter:
$$h'(x) = \cos\left(e^{\sqrt{\cos (x^2)}}\right)\cdot e^{\sqrt{\cos(x^2)}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\cos(x^2)}}\cdot(-\mathrm{sen} (x^2)) (2x).$$A tabela a seguir define o valor de várias funções e suas derivadas. Suponha que $h(x) = \ln(x)$, $x>0$. Calcule $(f \circ g \circ h \circ u )'(3)$.
| $x$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $g(x)$ | $g'(x)$ | $u(x)$ | $u'(x)$ |
| $0$ | $3$ | $e$ | $\pi $ | $2$ | $5$ | $-2 $ |
| $1$ | $0$ | $\sqrt{3}$ | $ -4$ | $ 7$ | $ e$ | $ 0$ |
| $2$ | $1$ | $5$ | $ 0$ | $ 7$ | $ -\sqrt{3}$ | $ -10$ |
| $3$ | $5$ | $e$ | $ -4$ | $ -2$ | $ 1$ | $ -1$ |
| $\pi$ | $5$ | $\sqrt{2}$ | $ \pi$ | $ 3$ | $ -1$ | $ -2$ |
Analisando a ordem de composição, temos:
\[3 \stackrel{u} \mapsto 1 \stackrel{h} \mapsto \ln{u} \stackrel{g}\mapsto \pi \stackrel{f} \mapsto f(\cdot)\]De modo que a derivada fica:
\[f'(\pi)\cdot g'(0)\cdot h'(1)\cdot u'(3) = -2\sqrt{2}\]