Tal como a subtração é operação inversa da soma e a divisão é a operação inversa da multiplicação, vale a pena pensar se existe alguma função que seja a inversa de uma função \(f\) dada. Caso exista, denotamos a inversa por \(f^{-1}\). Nesse caso, se aplicamos uma função e sua inversa consecutivamente (por composição), ou vice-versa, seria como se nada tivéssemos feito. Vamos ver que dada uma função com expressão \(y=f(x)\) que admita inversa, então a sua inversa terá uma expressão da forma \(x=f^{-1}(y)\). Geometricamente, veremos que os gráficos de \(f\) e de \(f^{-1}\) são simétricos em relação à reta \(y=x\), como podemos ver na figura abaixo.
Em seguida veremos com algum detalhe os exemplos das funções trigonométricas inversas. Para este assunto deve ler as seções Funções Inversas e Inversas das Funções Trigonométricas e em seguida assistir o segundo vídeo (Funções inversas). Depois deve continuar resolvendo a segunda parte da lista de exercícios.
Nem sempre é fácil saber se uma função tem uma inversa. O Teorema da Função Inversa se propõe a estabelecer condições que garantam a existência de uma função inversa além de apresentar como calcular a derivada da função inversa. Para mais detalhes sobre este Teorema deve ler a seção Teorema da Função Inversa, depois assistir o terceiro vídeo (O Teorema da Função Inversa) e finalmente terminar de resolver a lista de exercícios.
Até agora, trabalhamos com derivadas de funções definidas explicitamente por suas expressões, na forma $y=f(x)$. Porém, algumas equações com variáveis $x$ e $y$ podem definir, em alguns pontos, o $y$ como função de $x$, isto é, $y=y(x)$. No applet abaixo, por exemplo, em todos os pontos da curva, exceto aqueles em vermelho, há uma vizinhança em torno do ponto no qual a curva é o gráfico de uma função $y(x)$. Mova o ponto verde e veja uma vizinhança em torno da qual se tem $y=y(x)$.
É natural, portanto, pensarmos na derivada desta função, que pode ser obtida por meio de derivação implícita, como será visto no texto e no vídeo. Este processo consiste em derivar os dois lados da equação, considerando o $y$ como função de $x$, aplicando a regra da cadeia se necessário.
No exemplo do applet, se a curva é dada por
\begin{equation}9x^2 + 16y^2=144\end{equation}que deve ser entendida como
\begin{equation}9x^2 + 16\left(y(x)\right)^2=144\end{equation}derivando ambos os lados, temos
\begin{equation}18x + 32\,y(x)\,y'(x)=0.\end{equation}Note que aplicamos a Regra da Cadeia para derivar
\begin{equation}\left(16\left(y(x)\right)^2\right)'=32\,y(x)\,y'(x).\end{equation}Aqui, estamos indicando por $y'(x)$ a derivada de $y$ em relação a $x$, que também poderíamos escrever como $\dfrac{dy}{dx}$.
A partir desta técnica, resolveremos alguns problemas como, por exemplo, o da determinação de retas tangentes a curvas.
Neste tópico, estudaremos como estão relacionadas as derivadas de grandezas que estão relacionadas entre si por meio de uma equação. Estas derivadas serão, normalmente, em relação ao tempo, e representarão as taxas de variação das grandezas.
Por exemplo, no applet abaixo, que ilustra um problema clássico no tema, no qual um objeto está apoiado no chão e na parede.
As grandezas $x$ e $y$ estão relacionadas pelo Teorema de Pitágoras, ou seja:
\begin{equation}x^2 + y^2 = 25.\end{equation}Se, por algum motivo, a grandeza $x$ varia (a base do objeto pode estar escorregando, cuidado!), a grandeza $y$ também irá variar. Reescrevemos a equação pensando nestas grandezas como funções do tempo $t$:
\begin{equation}\left(x(t)\right)^2 + \left(y(t)\right)^2 = 25.\end{equation}Derivando os dois lados em relação ao tempo, temos
\begin{equation}2x(t) \cdot\frac{dx}{dt}(t) + 2y(t)\cdot \frac{dy}{dt}(t) = 0.\end{equation}Se soubermos, por exemplo, que a base escorrega com velocidade constante, digamos, 1 m/s, teremos $\frac{dx}{dt}(t)=1$ para todo $t$, portanto
\begin{equation}2x(t) \cdot 1 + 2y(t)\cdot \frac{dy}{dt}(t) = 0.\end{equation}
Logo:
\begin{equation}2y(t)\cdot \frac{dy}{dt}(t) = - 2x(t) \quad \text{e portanto} \quad \frac{dy}{dt}(t) = -\frac{x(t)}{y(t)}\end{equation}Esta expressão nos dá a velocidade com que o ponto apoiado na parede está caindo. Repare que a derivada é negativa, mostrando que, de fato, a grandeza $y$ diminui (o apoio cai!).
Outros exemplos serão trabalhados no texto e no vídeo.