Chegamos aos últimos tipos de aplicações da derivada que estudaremos na disciplina, tais aplicações estão associadas ao estudo do crescimento de uma função e à existência de valores máximos e mínimos. Inicialmente, vamos fazer esboços de gráficos mais elaborados, utilizando o que aprendemos de limite, derivada, continuidade e ainda testes de crescimento e concavidade. Outra aplicação será obter estimativas de certas funções utilizando o estudo dos pontos de máximo ou mínimo.
I) Vamos fazer todos os cálculos que nos permitem esboçar o gráfico da função (abaixo) $f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$, $x \in (0,1)\cup(1,+\infty)$. Vamos identificar os pontos Mín(de mínimo local) e I (de inflexão)
Dizemos que um ponto $c \in \mathrm{D}(f)$ é um ponto de máximo absoluto (ou global) da função $f$ em $\mathrm{D}(f)$, quando $f(c)$ for o maior valor assumido pela $f$, considerando todos os pontos do seu domínio, ou seja, quando $f(x)\leq f(c), \forall x \in \mathrm{D}(f)$. Nesse caso, $f(c)$ é o valor máximo absoluto da $f$ em $\mathrm{D}(f)$.
Da mesma forma, um ponto $c \in \mathrm{D}(f)$ é um ponto de mínimo absoluto (ou global) da função $f$ em $\mathrm{D}(f)$, quando $f(c)$ for o menor valor assumido pela $f$, considerando todos os pontos do seu domínio, ou seja, quando $f(c)\leq f(x), \forall x \in \mathrm{D}(f)$. Nesse caso, $f(c)$ é o valor mínimo absoluto da $f$ em $\mathrm{D}(f)$. De um modo geral, um ponto de máximo ou mínimo absoluto é chamado de um extremo absoluto (ou global) da $f$. Também, chamamos o ponto correspondente $(c,f(c))$, sobre o gráfico da função, de ponto de máximo ou mínimo absoluto no gráfico. Note que nem toda função possui máximo e mínimo globais, pense numa reta inclinada ou parábola! Observe o gráfico abaixo:
Em P1 temos o único ponto de mínimo absoluto. Em P6 temos o único ponto de máximo absoluto.
Algumas funções não possuem extremos absolutos, mas podem ter pontos que são extremos somente numa vizinhança do ponto e não em todo o domínio, tais pontos são ditos extremos locais. O conhecimento desses pontos é muito importante para que possamos elaborar esboços de gráficos ou resolver problemas.
Dizemos que um ponto $c \in \mathrm{D}(f)$ é um ponto de máximo local da $f$ em $\mathrm{D}(f)$, quando existir $\delta >0$, com $(c-\delta, c+\delta) \subset \mathrm{D}(f)$, tal que $f(x)\leq f(c), \forall x \in (c-\delta, c+\delta)$. Nesse caso, $f(c)$ é um valor máximo local da $f$ em $\mathrm{D}(f)$. Analogamente, se existir $\delta >0$ tal que $f(c)\leq f(x), \forall x \in (c-\delta, c+\delta) \subset \mathrm{D}(f) $, o ponto $c \in \mathrm{D}(f)$ é um ponto de mínimo local da $f$ em $\mathrm{D}(f)$. Note que na Figura 1 as abscissas dos pontos $P3$ e $P5$ são mínimos locais, já $P2$, $P4$ e $P6$ são máximos locais. Observe que em $P1=(x_1,f(x_1))$ temos o mínimo absoluto que não é local! O problema desse ponto é que $x_1$ está na extremidade do domínio e portanto não satisfaz a definição de mínimo local por não ter uma vizinhança do tipo $(x_1-\delta,x_1+\delta) \subset \mathrm{D}(f)$. Observe que em $P7$ não há mínimo local e nem absoluto!
Note que nos pontos $P2,P3,P4,P5,P6$ que são os extremos locais da função da Figura 1, a derivada é zero, ou seja a reta tangente ao gráfico da função nesses pontos é horizontal. É fácil intuir que esse fato é geral, ou seja, se uma função for suave (derivável) e tiver um extremo local, então nesse ponto a derivada é nula. Pegue papel e lápis e desenhe alguns gráficos ``suaves'' com extremos locais e perceba o que ocorre com as derivadas nesses pontos. Observe que em $P1$ temos um mínimo absoluto, mas a derivada (à direita) não é zero. Na verdade, vale o resultado a seguir.
(Teorema de Fermat) Se $c\in \mathrm{D}(f)$ for um extremo local da $f$, então $f'(c)=0$ ou $f$ não é derivável em $x=c$.
Considere uma função quadrática qualquer $f(x)=ax^2+bx+c$, $x \in \mathbb{R}$, onde $a\neq 0$, cujo gráfico é uma parábola. Sabemos que temos um extremo local (absoluto também) no vértice da parábola e que $x_v=-b/2a$. Assim, calculando sua derivada, temos $f'(x)=2ax+b$ e portanto, $f'(x_v)=2ax_v+b=2a\left(\frac{-b}{2a}\right)+b=0$. Como deveríamos esperar, de acordo com o Teorema de Fermat.
Diz-se que $c\in \mathrm{D}(f)$ é um ponto crítico da $f$ quando $f'(c)=0$ ou $f$ não é derivável em $x=c$. Assim, o Teorema 1 nos diz que todo extremo local é um ponto crítico. Porém, observe que nem todo ponto crítico é um extremo local. Por exemplo, a função $f(x)=x^3$ é tal que $f'(0)=0$, sem que $c=0$ seja um ponto de mínimo ou máximo local da função.
Determine os pontos críticos da função $f(x)=(x+1)\sqrt[3]{x}$, $x\in \mathbb{R}$ Observe a figura ???.
Em $x=-1/4$ temos um ponto crítico que é mínimo local (e absoluto) e em $(0,0)$ temos um ponto crítico que não é extremo local, mas nesse ponto a reta tangente é vertical.
Observe que a $f$ não é derivável em $x=0$, pois pela definição de derivada em $x=0$, temos que o limite
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{x^{2/3}}=+\infty.$$ Portanto $x=0$ é um ponto crítico da função. Como a $f$ é derivável nos demais pontos da reta, veremos se há outro ponto crítico do tipo ``derivada nula''.
Temos que
se e só se, $x=-1/4$. Logo, há dois pontos críticos, a saber, $x=0$ e $x=-1/4$.
Vamos recordar um resultado visto na semana anterior:
Se $f$ é contínua no intervalo $I=[a,b]$ e derivável em $(a,b)$ então:
$f'(x) >0, \; \forall x \in $(a,b)$ \; \Rightarrow f$ é estritamente crescente no intervalo $[a,b]$;
$f'(x) <0, \; \forall x \in $(a,b)$ \; \Rightarrow f$ é estritamente decrescente em $[a,b]$;
Assim, quando a $f'$ trocar de sinal teremos uma mudança de crescimento na função, e dependendo dessa mudança, estaremos diante de um máximo ou mínimo local! Esse é o conteúdo do Teorema a seguir, conhecido como o Teste da Primeira Derivada.
(Teste da Primeira Derivada) Seja $c\in \mathrm{D}(f)$ um ponto crítico de uma função $f$ contínua em $x=c$, então se em uma vizinhança de $c$:
o sinal de $f'$ mudar de positivo à esquerda para negativo à direita de $c$ $\Rightarrow$ $x=c$ é máximo local;
o sinal de $f'$ mudar de negativo à esquerda para positivo à direita de $c$ $\Rightarrow$ $x=c$ é mínimo local;
Observação: Se o sinal de $f'$ não trocar em torno do ponto crítico, tal ponto não será extremo local.
Determine os extremos locais das funções:
O único tipo de ponto crítico é aquele em que a derivada se anula, pois a $f$ é um polinômio.
Calculando a derivada: $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2) $
Portanto, pelo Teorema 3, $x=-1$ é ponto de máximo local e $x=2$ de mínimo local da $f$.
O único tipo de ponto crítico é aquele em que a derivada se anula, pois a $f$ é derivável em $\mathbb{R}$.
Calculando a derivada: $f'(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(2x+x^2)$
Portanto, pelo Teorema 3, $x=-2$ é ponto de máximo local e $x=0$ de mínimo local da $f$.
O único tipo de ponto crítico é aquele em que a derivada se anula, pois a $f$ é derivável para $x>0$.
Calculando a derivada: $f'(x)=\ln(x)+1$, então
pois aplica-se $exp$ dos dois lados da igualdade $(*)$ e o fato de que $exp(\ln(x))=x$. Agora,
$$f'(x)>0 \Leftrightarrow \ln(x)\underset{(**)}{>}-1 \Leftrightarrow x>e^{-1},$$pois aplica-se $exp$ dos dois lados da desigualdade $(**)$ e o fato de que $exp(t)$ é uma função estritamente crescente em $\mathbb{R}$. Analogamente, $f'(x)<0 \Leftrightarrow 0<x<e^{-1}$. Portanto, pelo Teorema 3, $x=e^{-1}$ é ponto de mínimo local da $f$.
Observação: Se tivermos $f:I \longrightarrow\mathbb{R}$, contínua em $I$, onde $I$ é um intervalo e $c\in I$ o único ponto crítico, tal que $f'(x)>0, \forall x <c$ e $f'(x)<0, \forall x >c$, onde $x\in I$, então esse ponto crítico será um máximo local e também será máximo absoluto da $f$ em $I$. Analogamente, se tivermos $c\in I$ o único ponto crítico, tal que $f'(x)<0, \forall x <c$ e $f'(x)>0, \forall x >c$, onde $x\in I$ e $I$ é um intervalo, então esse ponto crítico será um mínimo local e também será mínimo absoluto da $f$ em $I$.
Por exemplo, $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}, x \in I=\mathbb{R}$ é tal que $f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ e $f'(x)=0$ somente quando $x=0$, $f'(x)>0$, se $x<0$ e $f'(x)<0$, se $x>0$. Assim, $x=0$ é o único ponto crítico da $f$, que é um máximo local e também absoluto, pela observação acima. Da mesma forma, vimos no Exemplo 3 acima que $x=e^{-1}$ é o único ponto de mínimo local da $f$ no intervalo $(0,+\infty)$, portanto também será ponto de mínimo absoluto da função $f(x)=x\ln(x)$ no intervalo dado.
A observação acima é útil para obtermos estimativas de funções. Veja o próximo exemplo.
Mostre que $\dfrac{\ln(x)}{x}\leq \dfrac{1}{e}, \forall x>0.$ Conclua que $\pi^e <e^{\pi}$.
Considere a função $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}, x>0$ e estude o sinal de $f'$.
portanto, como o denominador é positivo, temos $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=e$, $f'(x)>0 \Leftrightarrow 0<x<e$ e $f'(x)<0 \Leftrightarrow x>e$. Logo, do Teorema 2 a $f$ é estritamente crescente em $(0,e]$ e estritamente decrescente em $[e,+\infty)$. Portanto, como só tem um extremo no intervalo $(0,+\infty)$, onde a função é contínua, segue que $x=e$ é um ponto de máximo local e absoluto da $f$ em $(0,+\infty)$. E assim, temos a desigualdade
$$f(x)\leq f(e)=\dfrac{1}{e}, \ \text{ou seja, } \dfrac{\ln(x)}{x} \leq \dfrac{1}{e}, \forall x>0.$$
Agora, se $x=\pi$, como a função é estritamente decrescente em $(e,+\infty)$ e $\pi >e$, segue que
utilizando propriedade do $ln$. Aplicando $exp$ dos dois lados na última desigualdade mantemos a desigualdade estrita, já que, $exp(t)$ é estritamente crescente em $\mathbb{R}$, assim chegamos a $\pi^{e}<e^{\pi}.$
Mostre que $x+\dfrac{16}{3x^3} \leq - \dfrac{8}{3}, \forall x<0$.
Considere a função $f(x)=x+\dfrac{16}{3x^3}$, para $x \in (-\infty,0)$, vamos derivar e estudar o sinal da $f'$:
$$f'(x)=1-\dfrac{16}{x^4}=\dfrac{x^4-16}{x^4}=(x^2-4)\left(\dfrac{x^2+4}{x^4}\right)^{(*)}$$A expressão (*) acima é positiva, logo o sinal de $f'$ só depende do sinal de $(x^2-4)$. Mas, para $x<0$, temos o seguinte sinal para $f'$:
$$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-2; \ f'(x)>0 \Leftrightarrow x\in(-\infty,-2); \ e \ f'(x)<0 \Leftrightarrow x\in (-2,0).$$Do Teorema 3 temos que $x=-2$ é um ponto de máximo local e, sendo o único extremo local no domínio da $f$, que é um intervalo onde a função é contínua, temos que $x=-2$ também é ponto de máximo absoluto. Consequentemente, $f(x)\leq f(-2)=-\frac{8}{3}, \forall x<0$, ou seja, $x+\dfrac{16}{3x^3} \leq - \dfrac{8}{3}, \forall x<0$.
Mostre que a função real $f(x)=\sqrt{x+\dfrac{16}{3x^3}-\dfrac{8}{3}}, \ x>0$ está bem definida.
Precisamos verificar que $x+\dfrac{16}{3x^3}-\dfrac{8}{3}\geq 0, \forall x>0$.
Como no exemplo 5, vamos definir a função
$$g(x)=x+\dfrac{16}{3x^3}-\dfrac{8}{3}, \ \text{para} \ x \in (0,+\infty).$$As contas da derivada são análogas às feitas acima e analisando o sinal da $g'$ para $x>0$, vemos que $x=2$ é um ponto de mínimo local e global da $g$ em $(0,+\infty)$, portanto $g(x)\geq g(2)=0, \forall x>0.$