No esboço de um gráfico é importante conhecer o tipo de concavidade em cada intervalo, como o que acontece quando traçamos o gráfico de uma função quadrática, sendo que na quadrática a concavidade não muda, porém, em geral a concavidade muda, considerando todo o domínio da função. Lembra do gráfico de

y = x^{3}

? Concavidade para baixo em

(- \infty, 0)

e para cima em

(0, + \infty)

. Vejamos de forma geométrica como definimos concavidade para cima e concavidade para baixo.

Nas figuras abaixo as retas tangentes foram traçadas em vários pontos dos gráficos das funções em um intervalo

I

. A posição das tangentes em relação ao gráfico vai determinar a concavidade da função. O primeiro gráfico é de uma função com concavidade para cima no intervalo

I

de definição, pois as retas tangentes ficam abaixo do gráfico da função numa vizinhança do ponto de tangência. O segundo é de uma função com concavidade para baixo no intervalo

I

de definição. Neste caso, as retas tangentes ficam acima do gráfico da função numa vizinhança do ponto de tangência.

Um ponto

c \in D (f)

, onde a função é contínua e há uma mudança de concavidade é dito um ponto de inflexão da função e

(c, f (c))

um ponto de inflexão do gráfico da

f

. Se existir reta tangente num ponto de inflexão, tal reta vai ``atravessar'' o gráfico nesse ponto, se colocando abaixo do gráfico na parte em que a concavidade for para cima e acima do gráfico na outra parte de concavidade para baixo. Por exemplo, a função seno possui infinitos pontos de inflexão do tipo

x = k π

, onde

k \in Z

. Veja nas figuras abaixo exemplos de pontos de inflexão e observe as retas tangentes em vermelho.

Teorema 1

(Teste da Concavidade)

Se $f^{″} (x) > 0, \forall x \in I$ $\Rightarrow$ a $f$ tem concavidade para cima em $I$ ;
Se $f^{″} (x) < 0, \forall x \in I$ $\Rightarrow$ a $f$ tem concavidade para baixo em $I$ ;

Para uma função quadrática, do tipo

f (x) = a x^{2} + b x + c

, costumamos dizer que a parábola associada possui concavidade para cima quando

a > 0

, para baixo quando

a < 0

. E, realmente,

f^{″} (x) = 2 a

e está de acordo com o Teorema 1 anterior.
Uma consequência do Teorema 1 é que um ponto de continuidade da função onde há troca do sinal da

f^{″}

é um ponto de inflexão.
Nos próximos exemplos vamos estudar a concavidade das funções e determinar os pontos de inflexão, caso existam.

Exemplo 1

Analise a Concavidade: $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x, x \in R$ .

Solução

Calculando as derivadas:

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \Rightarrow f^{″} (x) = 12 x - 6.

O sinal de $f^{″}$ é dado por :

f^{″} (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (1 / 2, + \infty); f^{″} (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, 1 / 2)

Assim, pelo Teorema 1, a $f$ tem concavidade para cima em $(1 / 2, + \infty)$ e para baixo em $(- \infty, 1 / 2)$ , sendo, portanto, $x = 1 / 2$ ponto de inflexão.

Exemplo 2

Analise a Concavidade: $f (x) = x^{2} e^{x}, x \in R$ .

Solução

Calculando as derivadas:

f^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} \Rightarrow f^{″} (x) = 4 x e^{x} + 2 e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) .

Como $e^{x} > 0$ , o sinal de $f^{″}$ só depende do sinal de $x^{2} + 4 x + 2$ , mas $x^{2} + 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \pm \sqrt{2}$ e sendo a concavidade da parábola $y = x^{2} + 4 x + 2$ para cima, temos :

f^{″} (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, + \infty); f^{″} (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})

Assim, pelo Teorema 1, a $f$ tem concavidade para cima em $(- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, + \infty)$ e para baixo em $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ , sendo, portanto $x = - 2 \pm \sqrt{2}$ dois pontos de inflexão.

Exemplo 3

Analise a Concavidade: $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ , $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ .

Solução

Calculando as derivadas:

f^{'} (x) = \frac{\ln (x) - 1}{[\ln (x)]^{2}}; f^{″} (x) = \frac{2 - \ln (x)}{x [\ln (x)]^{3}}

Para determinarmos o sinal da $f^{″}$ , vamos fazer o produto dos sinais entre $2 - \ln (x)$ e $[\ln (x)]^{3}$ , pois como $x > 0$ , o termo $x$ não precisa entrar no cálculo do sinal.

$x$	$(0, 1)$	$1$	$(1, e^{2})$	$e^{2}$	$(e^{2}, + \infty)$
$2 - \ln (x)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$[\ln (x)]^{3}$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
hline $f^{″} (x)$	$-$	$∄$	$+$	$0$	$-$

Logo, vemos que a concavidade é para cima em $(1, e^{2})$ e para baixo em $(0, 1) \cup (e^{2}, + \infty)$ . Temos que $x = e^{2}$ é o único ponto de inflexão. Note que, como $1 \notin D (f)$ , então, segundo a definição, $x = 1$ não pode ser ponto de inflexão.

Exemplo 4

Observe os gráficos abaixo e identifique os gráficos correspondentes às funções $f$ , $f^{'}$ e $f^{″}$ .

Solução

Começamos olhando os extremos locais que correspondem a raízes (interseções com o eixo $x$ ) no gráfico da derivada. O gráfico laranja tem mínimo local entre $1$ e $2$ e o azul tem interseção com o eixo $x$ no mesmo ponto. O azul tem máximo local entre $2$ e $3$ e o verde tem zero no mesmo ponto. Parece que o gráfico laranja é da $f$ , o azul da $f^{'}$ e o verde da $f^{″}$ . Para confirmarmos, olhamos o crescimento da função laranja e comparamos com o sinal da função em azul, e , de fato, sinal negativo da azul corresponde a laranja descrescente e sinal positivo, à crescente. Observe que o mesmo ocorre entre o gráfico azul e o verde.

Ao relacionarmos um extremo local à concavidade de um gráfico, somos levados à seguinte imagem intuitiva: "Em um ponto máximo local de uma função "suave", o gráfico tem concavidade para baixo numa vizinhança desse máximo e, se o ponto for um mínimo local, então a concavidade será contrária."

De fato, o próximo teorema, conhecido como Teste da Segunda Derivada, nos mostra que a concavidade numa vizinhança de um ponto crítico define a natureza do ponto extremo local. Ele é bastante útil quando o estudo do sinal da derivada de primeira ordem é complicado.

Teorema 2

(Teste da Segunda Derivada) Dada uma função $f$ , de classe $C^{2}$ numa vizinhança de um ponto crítico $c \in D (f)$ , isto é, tal que $f^{'} (c) = 0$ . Então,

se $f^{″} (c) > 0$ $\Rightarrow$ $x = c$ é ponto de mínimo local da $f$ ;
se $f^{″} (c) < 0$ $\Rightarrow$ $x = c$ é ponto de máximo local da $f$ ;

No resultado anterior, note que a derivada de segunda ordem só é calculada no ponto crítico!

Exemplo 5

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ , $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ .

Solução

Estudamos a concavidade desse gráfico no exemplo 3, note que o único ponto crítico dessa função é $x = e$ , que anula $f^{'} (x)$ . Além disso, pelo estudo do sinal da $f^{″} (x)$ , vemos que $f^{″} (e) > 0$ , logo $x = e$ é um ponto de mínimo local.

Exemplo 6

$f (x) = x + 2 \cos (x), x \in [0, 2 π]$ ;

Solução

Primeiro vamos determinar os pontos críticos da função em $[0, 2 π]$ :

f^{'} (x) = 1 - 2 sen (x) = 0 \Leftrightarrow sen (x) = 1 / 2.

Assim, os pontos críticos são $x = π / 6$ e $x = 5 π / 6$ . Mas, $f^{″} (x) = - 2 \cos (x)$ e calculando nos pontos críticos, temos

f^{″} (π / 6) = - 2 \cos (π / 6) = - \sqrt{3} < 0; f^{″} (5 π / 6) = - 2 \cos (5 π / 6) = - 2 (- \sqrt{3} / 2) = \sqrt{3} > 0

Logo, do Teorema 2, segue que $x = π / 6$ é ponto de máximo local e $x = 5 π / 6$ é ponto de mínimo local da $f$ .

Estudo da Concavidade e Pontos de Inflexão