No esboço de um gráfico é importante conhecer o tipo de concavidade em cada intervalo, como o que acontece quando traçamos o gráfico de uma função quadrática, sendo que na quadrática a concavidade não muda, porém, em geral a concavidade muda, considerando todo o domínio da função. Lembra do gráfico de $y=x^3$? Concavidade para baixo em $(-\infty,0)$ e para cima em $(0, +\infty)$. Vejamos de forma geométrica como definimos concavidade para cima e concavidade para baixo.
Nas figuras abaixo as retas tangentes foram traçadas em vários pontos dos gráficos das funções em um intervalo $I$. A posição das tangentes em relação ao gráfico vai determinar a concavidade da função. O primeiro gráfico é de uma função com concavidade para cima no intervalo $I$ de definição, pois as retas tangentes ficam abaixo do gráfico da função numa vizinhança do ponto de tangência. O segundo é de uma função com concavidade para baixo no intervalo $I$ de definição. Neste caso, as retas tangentes ficam acima do gráfico da função numa vizinhança do ponto de tangência.
Retas tangentes abaixo do gráfico da função - concavidade para cima em $I$.
Retas tangentes acima do gráfico da função - concavidade para baixo em $I$.
Um ponto $c\in \mathrm{D}(f)$, onde a função é contínua e há uma mudança de concavidade é dito um ponto de inflexão da função e $(c,f(c))$ um ponto de inflexão do gráfico da $f$. Se existir reta tangente num ponto de inflexão, tal reta vai ``atravessar'' o gráfico nesse ponto, se colocando abaixo do gráfico na parte em que a concavidade for para cima e acima do gráfico na outra parte de concavidade para baixo. Por exemplo, a função seno possui infinitos pontos de inflexão do tipo $x=k\pi$, onde $k\in \mathbb{Z}$. Veja nas figuras abaixo exemplos de pontos de inflexão e observe as retas tangentes em vermelho.
Todos os pontos do tipo $x=k\pi$, onde $k\in \mathbb{Z}$, são de inflexão e em tais pontos as retas tangentes são inclinadas e ``atravessam'' o gráfico.
A origem $(0,0)$ é um ponto de inflexão e em $x=0$ a $f$ não possui derivada, nem reta tangente.
$P=(1,1)$ é um ponto de inflexão e em tal ponto a reta tangente ``atravessa'' o gráfico e é vertical (a $f$ não é derivável em $x=1$).
$P=(-1,1)$ é um ponto de inflexão e em tal ponto a função tem derivada nula, a reta tangente é horizontal e ``atravessa'' o gráfico.
(Teste da Concavidade)
Se $f''(x)>0, \forall x \in I$ $\Rightarrow$ a $f$ tem concavidade para cima em $I$;
Se $f''(x)<0, \forall x \in I$ $\Rightarrow$ a $f$ tem concavidade para baixo em $I$;
Para uma função quadrática, do tipo $f(x)=ax^2+bx+c$, costumamos dizer que a parábola associada possui concavidade para cima quando $a>0$, para baixo quando $a<0$. E, realmente, $f''(x)=2a$ e está de acordo com o Teorema 1 anterior.
Uma consequência do Teorema 1 é que um ponto de continuidade da função onde há troca do sinal da $f''$ é um ponto de inflexão.
Nos próximos exemplos vamos estudar a concavidade das funções e determinar os pontos de inflexão, caso existam.
Analise a Concavidade: $f(x)=2x^3-3x^2-12x, x\in \mathbb{R}$.
Calculando as derivadas:
$$f'(x)=6x^2-6x-12 \Rightarrow f''(x)=12x-6.$$O sinal de $f''$ é dado por :
$$f''(x)>0 \Leftrightarrow x\in (1/2,+\infty);\ \ f''(x)<0 \Leftrightarrow x\in (-\infty,1/2)$$Assim, pelo Teorema 1, a $f$ tem concavidade para cima em $(1/2,+\infty)$ e para baixo em $(-\infty,1/2)$, sendo, portanto, $x=1/2$ ponto de inflexão.
Analise a Concavidade: $f(x)=x^2e^x, x\in \mathbb{R}$.
Calculando as derivadas:
$$f'(x)=2xe^x+x^2e^x \Rightarrow f''(x)=4xe^x+2e^x+x^2e^x=e^x(x^2+4x+2).$$Como $e^x>0$, o sinal de $f''$ só depende do sinal de $x^2+4x+2$, mas $x^2+4x+2=0 \Leftrightarrow x=-2\pm \sqrt{2} $ e sendo a concavidade da parábola $y=x^2+4x+2$ para cima, temos :
$$f''(x)>0 \Leftrightarrow x\in (-\infty,-2-\sqrt{2}) \cup (-2+ \sqrt{2},+\infty);\ \ f''(x)<0 \Leftrightarrow x\in (-2-\sqrt{2}, -2+ \sqrt{2} )$$Assim, pelo Teorema 1, a $f$ tem concavidade para cima em $ (-\infty,-2-\sqrt{2}) \cup (-2+ \sqrt{2},+\infty)$ e para baixo em $(-2-\sqrt{2}, -2+ \sqrt{2} )$, sendo, portanto $x=-2\pm \sqrt{2}$ dois pontos de inflexão.
Analise a Concavidade: $f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$, $x\in (0,1)\cup(1,+\infty)$.
Calculando as derivadas:
$$f'(x)=\dfrac{\ln(x)-1}{[\ln(x)]^2}; \ \ f''(x)=\dfrac{2-\ln(x)}{x[\ln(x)]^3}$$Para determinarmos o sinal da $f''$, vamos fazer o produto dos sinais entre $2-\ln(x)$ e $[\ln(x)]^3$, pois como $x>0$, o termo $x$ não precisa entrar no cálculo do sinal.
| $x$ | $(0,1)$ | $1$ | $(1,e^2)$ | $e^2$ | $(e^2,+\infty)$ |
| $2-\ln(x)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $[\ln(x)]^3$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| hline$f''(x)$ | $-$ | $\nexists$ | $+$ | $0$ | $-$ |
Logo, vemos que a concavidade é para cima em $(1,e^2)$ e para baixo em $(0,1) \cup (e^2,+\infty) $. Temos que $x=e^2$ é o único ponto de inflexão. Note que, como $1 \notin \mathrm{D}(f)$, então, segundo a definição, $x=1$ não pode ser ponto de inflexão.
Observe os gráficos abaixo e identifique os gráficos correspondentes às funções $f$, $f'$ e $f''$.
Começamos olhando os extremos locais que correspondem a raízes (interseções com o eixo $x$) no gráfico da derivada. O gráfico laranja tem mínimo local entre $1$ e $2$ e o azul tem interseção com o eixo $x$ no mesmo ponto. O azul tem máximo local entre $2$ e $3$ e o verde tem zero no mesmo ponto. Parece que o gráfico laranja é da $f$, o azul da $f'$ e o verde da $f''$. Para confirmarmos, olhamos o crescimento da função laranja e comparamos com o sinal da função em azul, e , de fato, sinal negativo da azul corresponde a laranja descrescente e sinal positivo, à crescente. Observe que o mesmo ocorre entre o gráfico azul e o verde.
Ao relacionarmos um extremo local à concavidade de um gráfico, somos levados à seguinte imagem intuitiva: "Em um ponto máximo local de uma função "suave", o gráfico tem concavidade para baixo numa vizinhança desse máximo e, se o ponto for um mínimo local, então a concavidade será contrária."
De fato, o próximo teorema, conhecido como Teste da Segunda Derivada, nos mostra que a concavidade numa vizinhança de um ponto crítico define a natureza do ponto extremo local. Ele é bastante útil quando o estudo do sinal da derivada de primeira ordem é complicado.
(Teste da Segunda Derivada) Dada uma função $f$, de classe $C^2$ numa vizinhança de um ponto crítico $c\in \mathrm{D}(f)$, isto é, tal que $f'(c)=0$. Então,
se $f''(c)>0$ $\Rightarrow$ $x=c$ é ponto de mínimo local da $f$;
se $f''(c)<0$ $\Rightarrow$ $x=c$ é ponto de máximo local da $f$;
No resultado anterior, note que a derivada de segunda ordem só é calculada no ponto crítico!
$f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$, $x\in (0,1)\cup(1,+\infty)$.
Estudamos a concavidade desse gráfico no exemplo 3, note que o único ponto crítico dessa função é $x=e$, que anula $f'(x)$. Além disso, pelo estudo do sinal da $f''(x)$, vemos que $f''(e)>0$, logo $x=e$ é um ponto de mínimo local.
$f(x)=x+2\cos(x), x \in [0,2\pi]$;
Primeiro vamos determinar os pontos críticos da função em $[0,2\pi]$ :
Assim, os pontos críticos são $x=\pi/6$ e $x=5\pi/6$. Mas, $f''(x)=-2\cos(x)$ e calculando nos pontos críticos, temos
Logo, do Teorema 2, segue que $x=\pi/6$ é ponto de máximo local e $x=5\pi/6$ é ponto de mínimo local da $f$.