Você já sabe avaliar o sinal de expressões do primeiro grau e de segundo grau. Vamos relembrar este estudo nos dois exemplos a seguir.
Estude o sinal das expressões
Observação: Embora não haja nenhum problema em achar as raízes utilizando Bhaskara, como fizemos, neste caso, há um método bem mais simples, já que $c=0$. Podemos colocar $x$ em evidência, pois não há termo independente de $x$, obtendo $y=x-x^2=x(1-x)$. Desta forma, temos que,
$$x-x^2=x(1-x)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=1.$$
Na próxima seção, vamos estudar o sinal de expressões mais gerais, formadas pelo produto e/ou quociente de expressões do primeiro e segundo graus.
Inicialmente, lembre-se que quando multiplicamos números reais, o sinal do produto final será positivo se a quantidade de números negativos for par e será negativo se a quantidade de números negativos for ímpar. O mesmo acontece com a divisão.
Observe as multiplicações e divisões abaixo.
No exemplo (a), o sinal do resultado é positivo, pois temos dois fatores negativos. No exemplo (b), o sinal do resultado é negativo, pois temos três números negativos sendo multiplicados ou divididos.
Vamos começar estudando o sinal da expressão
$$y=x\,(-x^2+2x-1)$$Inicialmente, note que a expressão acima está definida para $x \in \mathbb{R}$.
Observe que podemos raciocinar que estamos multiplicando o número $y=x$ pelo número $y=-x^2+2x-1$. Como $x$ é uma variável, vamos analisar, na reta real, os intervalos em que cada um dos números dados pelas expressões anteriores é positivo, negativo ou nulo.
$y=x$: esta análise é bem simples:
\begin{eqnarray*}y=x>0 &\Leftrightarrow & x> 0;\\y=x<0 &\Leftrightarrow & x< 0;\\y=x=0 &\Leftrightarrow & x= 0.\end{eqnarray*}
$y=-x^2+2x-1$: tratando-se de uma expressão do segundo grau, vamos primeiro verificar o sinal de $\Delta$. Como $\Delta = 2^2-4\cdot(-1)\cdot(-1)=4-4=0$, a equação $-x^2+2x-1=0$ possui duas raízes reais iguais, a saber $x_1=x_2=\dfrac{-(2)}{2\cdot (-1)}=1$. Vamos agora verificar o sinal do coeficiente $a$ do termos de segundo grau. Como $a=-1<0$, a parábola associada à expressão $y=-x^2+2x-1$ possui concavidade para baixo e "toca" o eixo $x$ na raiz $x_1$, portanto, $y=-x^2+2x-1$ é negativo para todo $x$ diferente da raiz $x_1$. Ou seja, temos que,
$$y=-x^2+2x-1<0 \;\;\Leftrightarrow \;\;x\not=1;$$ $$y=-x^2+2x-1=0 \;\;\Leftrightarrow \;\;x=1.$$Para facilitar, vamos colocar todas as informações acima numa tabela, onde as colunas representam os números reais relevantes, que são as raízes das expressões detalhadas acima (pois, são valores que marcam quando as expressões zeram) e os intervalos entre cada uma delas (pois, nestes intervalos e, só nestes, as expressões podem mudar de sinal). Cada linha representará uma expressão analisada acima e colocaremos em cada coluna o sinal desta expressão. A linha final é reservada à expressão completa.
| $(-\infty,0)$ | $0$ | $(0,1)$ | $1$ | $(1, \infty)$ | |
| $x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $-x^2+2x-1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $-$ |
| $x\,(-x^2+2x-1)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $-$ |
Observando a tabela acima, vemos que,
\begin{eqnarray*}y=x\,(-x^2+2x-1)>0 &\Leftrightarrow & x<0;\\ \\y=x\,(-x^2+2x-1)<0 &\Leftrightarrow & 0 < x < 1 \text{ ou } x > 1;\\ \\y=x\,(-x^2+2x-1)=0 &\Leftrightarrow & x=0 \text{ ou } x=1.\end{eqnarray*}Agora, vamos estudar o sinal da expressão abaixo, que é um pouco mais complexa. $$y=\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}.$$
Inicialmente, note que a expressão acima está definida para $x \in \mathbb{R}$, tal que,
$$x^2+4x-5\not = 0 \;\Leftrightarrow \; x\not = -5 \text{ e } x\not = 1,$$ pois a divisão por zero não está definida no conjunto dos números reais.
Observe que podemos raciocinar que estamos multiplicando o número $y=x-2$ pelo número $y=2x^2-6x-8$ e dividindo este produto pelo número $y=x^2+4x-5$. Como $x$ é uma variável, vamos analisar, na reta real, os intervalos onde cada um dos números dados pelas expressões anteriores é positivo, negativo ou nulo.
$y=x-2$: como estamos diante de uma expressão do primeiro grau, nosso primeiro passo é encontrar a raiz da equação $x-2=0$. Neste caso, temos $x-2=0 \Leftrightarrow x=2$. O segundo passo é verificar o sinal do coeficiente $b$ do termo de primeiro grau. Como $b=1>0$, a reta associada à expressão $y=x-2$ é crescente e, portanto, $y=x-2$ é positivo depois da raiz e negativo, antes. Ou seja, temos que,
\begin{eqnarray*} y=x-2>0 &\Leftrightarrow & x>2;\\ y=x-2<0 &\Leftrightarrow & x<2;\\ y=x-2=0 &\Leftrightarrow & x=2. \end{eqnarray*}
$y=2x^2-6x-8$: tratando-se de uma expressão do segundo grau, vamos primeiro verificar o sinal de $\Delta$. Como $\Delta = 6^2-4\cdot(2)\cdot(-8)=36+64=100>0$, a equação $2x^2-6x-8=0$ possui duas raízes reais distintas, a saber, $x_1=\dfrac{-(-6)+\sqrt{100}}{2\cdot2}=4$ e $x_2=\dfrac{-(-6)+\sqrt{100}}{2\cdot2}=-1$. Vamos agora verificar o sinal do coeficiente $a$ do termo de segundo grau. Como $a=2>0$, a parábola associada à expressão $y=2x^2-6x-8$ possui concavidade para cima e, portanto, $y=2x^2-6x-8$ é negativo entre as raízes e positivo, fora. Ou seja, temos que,
\begin{eqnarray*} y=2x^2-6x-8>0 &\Leftrightarrow & x<-1 \text{ ou } x>4;\\ y=2x^2-6x-8<0 &\Leftrightarrow & -1 < x < 4;\\ y=2x^2-6x-8=0 &\Leftrightarrow & x=-1 \text{ ou } x=4. \end{eqnarray*}
$y=x^2+4x-5$: tratando-se de uma expressão do segundo grau, vamos primeiro verificar o sinal de $\Delta$. Como $\Delta = 4^2-4\cdot(-5)=16+20=36>0$, a equação $x^2+4x-5=0$ possui duas raízes reais distintas, a saber, $x_1=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{2}=1$ e $x_2=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{2}=-5$. Vamos agora verificar o sinal do coeficiente $a$ do termo de segundo grau. Como $a=1>0$, a parábola associada à expressão $y=x^2+4x-5$ possui concavidade para cima e, portanto, $y=x^2+4x-5$ é negativo entre as raízes e positivo, fora. Ou seja, temos que,
\begin{eqnarray*} y=x^2+4x-5>0 &\Leftrightarrow & x < -5 \text{ ou } x>1;\\ y=x^2+4x-5<0 &\Leftrightarrow & -5 < x < 1\\ y=x^2+4x-5=0 &\Leftrightarrow & x=-5 \text{ ou } x=1. \end{eqnarray*}Para facilitar, vamos colocar todas as informação acima numa tabela, onde as colunas representam os números reais relevantes, que são as raízes das expressões detalhadas acima (pois, são valores que marcam quando as expressões zeram) e os intervalos entre cada uma delas (pois, nestes intervalos e, só nestes, as expressões podem mudar de sinal). Cada linha representará uma expressão analisada acima e colocaremos em cada coluna o sinal desta expressão. A linha final é reservada à expressão completa.
| $(-\infty,-5)$ | $-5$ | $(-5,-1)$ | $-1$ | $(-1,1)$ | $1$ | $(1,2)$ | $2$ | $(2,4)$ | $4$ | $(4,+\infty)$ | |
| $x-2$ | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$0$} | {$+$} | {$+$} | {$+$} |
| $2x^2-6x-8$ | {$+$} | {$+$} | {$+$} | {$0$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$0$} | {$+$} |
| $x^2+4x-5$ | {$+$} | {$0$} | {$-$} | {$-$} | {$-$} | {$0$} | {$+$} | {$+$} | {$+$} | {$+$} | {$+$} |
| {$\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}$} | {$-$} | {$\not\!\exists$} | {$+$} | {$0$} | {$-$} | {$\not\!\exists$} | {$+$} | {0} | {$-$} | {$0$} | {$+$} |
Observando a tabela acima, vemos que,
\begin{eqnarray*}\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5} > 0 &\Leftrightarrow & -5 < x < -1 \text{ ou } 1 < x < 2 \text{ ou } x > 4;\\ \\\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5} < 0 &\Leftrightarrow & x < -5 \text{ ou } -1 < x < 1 \text{ ou } 2 < x < 4;\\ \\\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}=0 &\Leftrightarrow & x=-1 \text{ ou } x=2 \text{ ou } x=4.\end{eqnarray*}
Apresentaremos a seguir uma outra solução, onde as expressões de segundo grau são fatoradas.
Como a expressão $y=2x^2-6x-8$ possui $\Delta=36>0$ e, portanto, duas raízes reais distintas, podemos fatorá-la como o produto de duas expressões do primeiro grau. De fato,
$$y=2x^2-6x-8=2(x^2-3x-4)=2(x-(-1))\cdot(x-4)=2(x+1)(x-4).$$Da mesma forma, a expressão $y=x^2+4x-5$ possui $\Delta=100>0$ e, portanto, duas raízes reais distintas, podemos fatorá-la como o produto de duas expressões do primeiro grau, obtendo,
$$y=x^2+4x-5=(x-1)\cdot(x-(-5))=(x-1)(x+5).$$Desta forma, temos que
$$ \frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}=\frac{2(x-2)(x+1)(x-4)}{(x-1)(x+5)}.$$Portanto, poderemos substituir a análise dos termos de segundo grau pelos termos de primeiro grau obtidos na fatoração e a tabela anterior, neste caso, ficaria da seguinte forma:
| $(-\infty,-5)$ | $-5$ | $(-5,-1)$ | $-1$ | $(-1,1)$ | $1$ | $(1,2)$ | $2$ | $(2,4)$ | $4$ | $(4,+\infty)$ | |
| $2$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x-2$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x+1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x-4$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $x-1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $x+5$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}$ | $-$ | $\not\!\exists$ | $+$ | $0$ | $-$ | $\not\!\exists$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Na próxima seção vamos utilizar o estudo de sinais para resolver inequações.
Você pode estar se perguntando para que serve o estudo de sinais que vimos na seção anterior. A resposta é simples. De posse do estudo de sinais de uma expressão, podemos resolver inequações. Vamos exemplificar esta afirmação através dos exercícios resolvidos a seguir.
Resolva as inequações abaixo.
Desta forma, temos que o conjunto solução da inequação $-2x+3<0$ é dado por $x \in \left(\dfrac{3}{2}, \infty \right)$.
Desta forma, temos que o conjunto solução da inequação $ x-x^2\geq 0$ é dado por $x \in \left[0,1\right]$.
Resolva a inequação a seguir.
$$\dfrac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}>0$$Já estudamos previamente o sinal da expressão $y=\dfrac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}$, obtendo que,
\begin{eqnarray*}\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}>0 &\Leftrightarrow & -54;\\ \\\frac{(x-2)(2x^2-6x-8)}{x^2+4x-5}<0 &\Leftrightarrow & x<-5 \text{ ou } -10 \Leftrightarrow x \in (-5,-1) \cup (2,1) \cup (4, \infty).\end{eqnarray*}Observe que nos exemplos anteriores resolvidos, nosso objetivo era descobrir quando uma expressão era "$>0$", "$\geq 0$", "$<0$" ou "$\leq 0$", pois, são nestes, e apenas nestes casos, que basta ver se em um determinado intervalo temos um número par ou ímpar de produtos de números (expressões) negativos. Como devemos proceder, então se estivermos diante de uma desigualdade do tipo
$$\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}\geq -2?$$Ora, vamos manipular a expressão de modo a colocá-la na forma desejada, ou seja, onde em um dos lados da desigualdade temos o zero! Para isto, é necessário que recordemos uma propriedade dos números reais no que concerne a desigualdades.
Sejam $m$, $n$ e $k$ números reais. Então,
$$m < n \;\;\;\Leftrightarrow m+k < n+k.$$No lugar de "$<$", pode-se ter "$\leq$", "$>$" ou "$\geq$", que a propriedade acima permanece válida. A tradução desta propriedade é: "somar um mesmo número a ambos os lados da desigualdade não altera a desigualdade." Esta propriedade é conhecida como Monotonicidade da Adição.
Portanto, quando estivermos diante de uma desigualdade do tipo:
$$\text{ expressão 1} < \text{ expressão 2},$$temos a seguinte equivalência ao aplicarmos esta propriedade,
\begin{eqnarray*}\text{ expressão 1} < \text{ expressão 2}& \Leftrightarrow &\text{ expressão 1} -\text{ expressão 2}< \text{ expressão 2}-\text{ expressão 2}\\ &\Leftrightarrow& \text{ expressão 1} - \text{ expressão 2}<0,\end{eqnarray*}o que coloca a desigualdade na forma desejada. Esta propriedade já deve ser velha conhecida sua, mas com outro nome: o famoso "passa para o outros lado e troca de sinal".
Aplicando esta propriedade na inequação acima, temos que,
\begin{eqnarray*}\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}\geq -2 &\Leftrightarrow &\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}+{\color{blue}(2)}\geq -2+{\color{blue}(2)}\\ \\&\Leftrightarrow &\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}+2\geq 0.\end{eqnarray*}Você pode continuar utilizado o "passa para o outro lado e troca de sinal" tranquilamente, mas agora você sabe que ele vem de uma propriedade dos números reais.
Colocando a seguir o lado esquerdo da inequação sobre o mesmo denominador, temos que,
\begin{eqnarray*}\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}+2\geq 0 &\Leftrightarrow &\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}+2\left(\dfrac{-x^2+4x-5}{-x^2+4x-5}\right)\geq 0\\ \\ &\Leftrightarrow &\dfrac{2x^2-10x+2\left(-x^2+4x-5\right)}{-x^2+4x-5}\geq 0\\ \\ &\Leftrightarrow &\dfrac{2x^2-10x-2x^2+8x-10}{-x^2+4x-5}\geq 0\\ \\ &\Leftrightarrow &\dfrac{-2x-10}{-x^2+4x-5}\geq 0\\ \\\end{eqnarray*}Vamos aplicar agora o nosso procedimento de estudar separadamente as expressões de primeiro e segundo graus, $y=-2x-10$ e $y=-x^2+4x-5$.
$y=-2x-10$: como estamos diante de uma expressão do primeiro grau, nosso primeiro passo é encontrar a raiz da equação $-2x-10=0$. Neste caso, temos $-2x-10=0 \Leftrightarrow x=-5$. O segundo passo é verificar o sinal do coeficiente $b$ do termo de primeiro grau. Como $b=-2<0$, a reta associada à expressão $y=-2x-10$ é decrescente e, portanto, $y=-2x-10$ é positivo antes da raiz e negativo, depois. Ou seja, temos que,
$$y=-2x-10>0 \Leftrightarrow x< -5;$$$$y=-2x-10<0 \Leftrightarrow x> -5;$$
$$y=-2x-10=0 \Leftrightarrow x= -5.$$
$y=-x^2+4x-5$: tratando-se de uma expressão do segundo grau, vamos primeiro verificar o sinal de $\Delta$. Como $\Delta = 4^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)=16-20=-4<0$, a equação $-x^2+4x-5=0$ não possui raízes reais. Vamos então verificar o sinal do coeficiente $a$ do termo de segundo grau. Como $a=-1<0$, a parábola associada à expressão $y=-x^2+4x-5$ possui concavidade para baixo e não intersecta o eixo $x$. Portanto, $y=-x^2+4x-5$ é negativo para todo $x$ real. Ou seja, temos que,
$$y=-x^2+4x-5<0 \;\;\Leftrightarrow \;\;x\in \mathbb{R}.$$De posse das informações acima, vamos construir nossa tabela, para descobrir para que valores de $x$ temos $\dfrac{-2x-10}{-x^2+4x-5}\geq 0$.
| $(-\infty,-5)$ | $-5$ | $(-5, \infty)$ | |
| $-2x-10$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $-x^2+4x-5$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| $\dfrac{-2x-10}{-x^2+4x-5}$ | $-$ | $0$ | $+$ |
Observando a tabela acima, vemos que,
$$y=\dfrac{-2x-10}{-x^2+4x-5}\geq 0 \Leftrightarrow x \geq -5.$$Como vimos que,
$$\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}\geq -2 \Leftrightarrow \dfrac{-2x-10}{-x^2+4x-5}\geq 0,$$segue que,
$$\dfrac{2x^2-10x}{-x^2+4x-5}\geq -2 \Leftrightarrow x \geq -5.$$