Nas semanas anteriores aprendemos a noção de derivada de uma função. Mas dada uma função \(f\) diferenciável, será que a função \(f'\) também será diferenciável? Tudo o que vimos para estudar a derivada de \(f\) poderíamos fazer para definir a derivada de \(f'\). Assim surge a noção de segunda derivada de \(f\), denotada por \(f''\). De fato, podemos colocar a mesma questão para a segunda derivada e assim sucessivamente, obtendo então derivadas de ordem superior. Para mais detalhes deve agora ler a seção Derivadas de Ordem Superior:
Ao definir derivada, vimos que podíamos utilizá-la de forma a obter uma "boa" aproximação linear da função (ou seja, dada por um polinômio de ordem 1). Vamos agora estudar aproximações da função dadas por polinômios de grau superior. Veja no applet abaixo os polinômios de Taylor de ordem $n$ com \(n \in \{1,2,3,\ldots,30\}\), em torno de \(x=a\) da função \(f(x)=\mathrm{sen} (x)\).
Agora pode assistir o primeiro vídeo:
Ler a seção O Polinômio de Taylor do texto para estudar a definição de polinômio de Taylor e explorar as suas aplicações:
É bastante razoável imaginar que algumas funções podem ser derivadas várias vezes em pontos do seu domínio. Por exemplo, se tomarmos $f(x) = x^4$, teremos $f'(x) = 4x^3$. Conhecemos a derivada de $f'(x)$, que é dada por $12x^2$ e que, por sua vez, também pode ser derivada. Esse procedimento nos conduz à noção daquilo que é conhecido como segunda derivada (ou derivada segunda), terceira derivada, etc. Essas derivadas, quando existem, levam o nome genérico de derivadas de ordem superior e, dependendo da função, podem ser infinitas. Por exemplo: qualquer polinômio, exponencial, $\mathrm{sen}(x)$, $\cos(x)$, são funções que podem ser derivadas infinitas vezes.
Notação: A $n$-ésima derivada de uma função $f :\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ é denotada por $f^{(n)}(x)$ ou $\frac{ d^nf}{dx^n}$. Quando $n$ é $2$ ou $3$, também se usa $f''(x)$ ou $f'''(x)$.
Com essa notação, podemos escrever, por exemplo, a derivada terceira de $f(x) = x^4$ como: \(f^{'''}(x) = 24 x\) ou a derivada quarta de $f(x) = \mathrm{sen}(x)$ como $\frac{d^4f}{dx^4} = sen(x)$.
Muitas vezes queremos afirmar que uma função $f$ tem derivadas contínuas até ordem $n$ em algum conjunto $\mathrm{D}$. Dizemos então que a função é de classe $C^n$ em $\mathrm{D}$ e escrevemos isso como $f \in C^n(\mathrm{D})$. Por exemplo, se $f(x) = x^3$, $x \in \mathbb{R}$, podemos escrever que: $f \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ (lê-se: $f$ é de classe C-infinito em $\mathbb{R}$). Ou seja: $f$ pode ser derivada infinitas vezes e todas as derivadas são contínuas em qualquer valor real.
Vamos considerar $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$. Reescrevendo como $f(x) = x^{4/3}$, podemos escrever $f'(x) = \frac{4}{3}x^{1/3}$ que é uma função contínua em $\mathbb{R}$. Se derivarmos mais uma vez, a derivada segunda não estará definida em $x=0$. Podemos dizer que $f \in C^{1}(\mathbb{R})$.
Por convenção, o símbolo: $f^{(0)} (x)$, nesse contexto, representa a própria função; uma função contínua é dita de classe $C^0$ no seu domínio de continuidade.