[em Construção]
Teorema de Stokes (no espaço)
Seja $\sigma:K\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ uma porção de uma superfície regular dada por $\sigma(u,v)=(x(y,v,),y(u,v),z(u,v))$, onde $x(u,v)$, $y(u,v)$ e $z(u,v)$ são funções de classe $C^2$ num aberto que contém $K$. Seja $\overrightarrow{F}(x,y,z)=(P,Q,R)$ um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em um aberto que contém $\,\mathrm{IM}\,(\sigma)$. Nestas condições tem-se
\[\int_{\Gamma} \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\iint_{\sigma} \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS\]onde $\Gamma$ é uma curva cuja a fronteira de $\sigma$ é orientada positivamente em relação à normal
\[\overrightarrow{n}(\sigma (u,v))= \frac{\frac{\partial \sigma }{\partial u}\land \frac{\partial \sigma }{\partial v}}{\left\| \frac{\partial \sigma }{\partial u}\land \frac{\partial \sigma }{\partial v} \right\| }.\]Ao expandir $\int_{\Gamma} \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\iint_{\sigma} \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS$ toma a forma:
\[\begin{split} \int_{\Gamma}& {P(x,y)\, dx + Q(x,y)\, dy + R(x,y)\, dz}=\\&=\iint_{\sigma}{\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\,dx\,dy}. \end{split} \]Considere uma superfície que uma porção do plano e um campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z)=(P,Q,R)$ que possui componentes apenas no plano, nestas condições podemos ver que $\overrightarrow{F}(x,y,z)=(P(x,y),Q(x,y),0)$.
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Calculando o rotacional temos
\[ \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}= \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\P & Q & 0 \end{array}\right|= \left[\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right] \vec{k}. \]e aplicando o teorema de Stokes
\[\int_{\Gamma} P\,\,dx+Q\,\,dy=\int_{\Gamma} \overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}=\iint_{\sigma} \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS=\iint_{K} \left[\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right] \,\,dx\,dy.\]Aqui o vetor $\overrightarrow{n}=\vec{k}$. Olhando a expressão vemos que obtivemos o teorema de Green. Podemos dizer que teorema de Stokes generaliza o teorema de Green para o espaço.
Orientação
Sejam $\sigma:K\subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ uma superfície regular orientada e $\overrightarrow{n}$ um campo de vetores normais unitários. Dizemos que o bordo de uma região $S$, $\Gamma$, está orientado positivamente se, ao caminhar ao longo de $\Gamma$, com a cabeça no sentido de $\overrightarrow{n}$, a região $S$ fica sempre a nossa esquerda.
Veja o relógio no braço esquerdo sobre a região $S$
Para descidirmos qual o sentido em que $\Gamma$ deve ser percorrido devemos utilizar o famoso "método da mão direita", o qual consiste em determinar para onde o indicador será apontado, se exigirmos que o dedo maior aponte para dentro da região $S$ e o polegar aponte na direção da cabeça do homem caminhando sobre $\Gamma$ que é a mesma da direção do vetor $\overrightarrow{n}$.
Um outro critério que você pode usar para decidir se a orientação escolhida é a adequada é olhar para a superfície de forma que todos os vetores unitários normais estejam apontados para você, a curva deve então estar orientada no sentido anti-horário.
Observe que no exemplo anterior o $\Gamma$ deve ser escolhido no sentido anti-horário, uma vez que o vetor normal $\overrightarrow{n}=\vec{k}$
Sejam $ \overrightarrow{F}(x,y,z) = x^2 z^2 \, \vec{i} + y^2z^2 \,\vec{j} + xyz \,\vec{k}$ um campo vetorial, e $S$ é a superfície que é a parte do paraboloide $z = x^2+ y^2$ que está dentro do cilindro $x^2+y^2=4$, com o vetor normal $\overrightarrow{n}$ escolhido de tal forma que $\overrightarrow{n}\cdot \vec{k}>0$. Nestas condições calcule $ \iint_S \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F} \,\, dS$.
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Para calcular $\iint_S \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F} \,\, dS$ precisamos inicialmente calcular $\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}$, então
\[ \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}= \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\x^2z^2 & y^2z^2 & xyz \end{array}\right|= (x z - 2y^2 z)\, \vec{i} + (2x^2 z - y z)\,\vec{j} + (0) \vec{k}. \]Para calcularmos $ \iint_S \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F} \,\, dS$ precisamos obter uma parametrização $\sigma$ para $S$. Considere $\sigma(u,v)=(u,v,u^2+v^2)$, com a restrição ao disco $K=\left\{(u,v)\in \mathbb{R}^2: u^2+v^2\leq 4\right\}$. A partir desta contas percebemos que vamos precisar realizar muitas outras contas. Então na expectativa de economizar todas estas manipulações vamos ver o que acontece quando utilizamos o teorema de Stokes.
Vamos orientar $\Gamma$ no sentido positivo, que neste caso a curva fica orientada no sentido anti-horário. A equação vetorial de $\Gamma$ é: $r(t)=(2\cos(t),2\,\mathrm{sen} \,(t),4)$, com $ 0 \leq t \leq 2\pi$. Derivando, $r'(t) = \left( -2 \,\mathrm{sen} \,(t), 2\cos(t),0 \right)$.
\[\begin{split} \iint_{S} \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F} \,\, dS&= \int_{\Gamma} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}\\&=\int_0^{2\pi} (4\cos^2(t)\times 16 , 4\,\mathrm{sen} \,^2(t) \times 16, 2\cos(t)\times 2\,\mathrm{sen} \,(t)\times 4 )\cdot ( -2 \,\mathrm{sen} \,(t), + 2\cos(t),0) dt\\& = \int_{0}^{ 2\pi} ( -128cos^2(t)sen(t) + 128sen^2(t)cos(t) + 0 ) \, dt\\& = \left[\frac{128}{3} cos^3(t) + \frac{128}{3}sen^3(t)\right]_0^{2\pi}\\&=0 \\ \end{split} \]Como fica subentendido no exemplo podemos pensar a superfície $S$ no espaço sendo delimitada pela curva $\Gamma$, como se $\Gamma$ fosse um laço de arame que você acabou de mergulhar no sabão, e $S$ fosse o início de uma bolha de sabão emergindo do laço. Fica claro que o resultado desta integral vai ser o mesmo para qualquer outra superfície, o que importa é o laço do arame.
Outra interpretação para o rotacional
Quando $\Gamma$ é uma curva fechada é comum nos referir à integral $\int_{\Gamma}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$ como a "circulação´´ de sobre $\Gamma$. Graças ao teorema de Stokes podemos interpretar, então, que a circulação de $\overrightarrow{F}$ sobre a fronteira de $\sigma$, orientada positivamente com relação à normal $\overrightarrow{n}$ é igual ao fluxo do rotacional de através de $\sigma$.
Definimos
\[\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P)\cdot \overrightarrow{n} = \lim_{\,\mathrm{diam}\, \sigma \rightarrow 0}\frac{\iint_{\Gamma} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}}{\mbox{área } \sigma}\]Onde $\,\mathrm{diam}\, B$ é o diâmetro de $B$ e isso é maior que todas as distâncias entre dois pontos quaisquer de $B$. Podemos parafrasear isso dizendo: a circulação de $\overrightarrow{F}$ sobre $\Gamma$ é aproximadamente o produto da área de $\sigma$ pela componente do rotacional de $\overrightarrow{F}$ em $P$, na direção $\overrightarrow{n}$.
Vamos justificar esta reinterpretação do rotacional, para isso sejam $\sigma: K \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ uma porção de uma superfície regular por $\sigma(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$ onde $x(u,v)$, $y(u,v)$ e $z(u,v)$ são de classe $C^1$ num aberto que contém $K$ e, $\overrightarrow{F}=(P,Q,R)$ um campo vetorial de classe $C^1$ num aberto que contém $\,\mathrm{IM}\,(\sigma)$. Seja ainda, um plano $\alpha$ passando por $P$ e normal a $\overrightarrow{n}$. Sendo $\overrightarrow{F}$ de classe $C^1$ resulta que $\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}$ é contínua em $\alpha \cap \Omega$. Assim dado $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para todo $X\in \alpha \cap \Omega $
\[\left| X-P\right| < \delta \Rightarrow \left|\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(X)\cdot \overrightarrow{n}- \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P)\cdot \overrightarrow{n}\right|< \epsilon \]Para a porção da superfície regular $\sigma$, passando por $P$, e com a imagem contida em $\alpha$, teremos
\[\begin{split} &\left\| \iint_{\sigma} \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(X)\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS-\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P)\cdot \overrightarrow{n} \mbox{ área de }\sigma \right\|\\&=\left\|\iint_{\sigma} \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(X)\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS- \iint_{\sigma}\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P)\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS \right\|\\&= \left\|\iint_{\sigma} \left[ \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(X) \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P) \right] \cdot \overrightarrow{n}\,\,dS \right\|\\&\leq \iint_{\sigma} \left\|\left[ \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(X) - \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P) \right] \cdot \overrightarrow{n}\right\|\,\,dS<\epsilon \mbox{ área de } \sigma.\\ \end{split} \]Tomando \sigma de tal forma que o diametro de \sigma seja menor que $\delta$ e dividindo pela área de $\sigma$
\[\left\| \frac{\iint_{\sigma} \,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(X)\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS}{\mbox{ área de }\sigma}-\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P)\cdot \overrightarrow{n} \right\|< \epsilon.\]Seja $\Gamma$ é uma curva fronteira de $\Sigma$ orientada positivamente com relação a $ \overrightarrow{n}$, obtemos
\[\lim_{\,\mathrm{diam}\, \sigma \rightarrow 0}\frac{\int_{\Gamma} \overrightarrow{F}(X)\cdot d\overrightarrow{r}}{\mbox{ área de }\sigma}=\,\mathrm{rot}\, \overrightarrow{F}(P)\cdot \overrightarrow{n}.\]