[em Construção]

Teorema de Stokes (no espaço)

Teorema 1

Seja $σ : K \subset R^{2} \to R^{3}$ uma porção de uma superfície regular dada por $σ (u, v) = (x (y, v,), y (u, v), z (u, v))$ , onde $x (u, v)$ , $y (u, v)$ e $z (u, v)$ são funções de classe $C^{2}$ num aberto que contém $K$ . Seja $\vec{F} (x, y, z) = (P, Q, R)$ um campo vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em um aberto que contém $IM (σ)$ . Nestas condições tem-se

\int_{Γ} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \iint_{σ} rot \vec{F} \cdot \vec{n} d S

onde $Γ$ é uma curva cuja a fronteira de $σ$ é orientada positivamente em relação à normal

\vec{n} (σ (u, v)) = \frac{\frac{\partial σ}{\partial u} \land \frac{\partial σ}{\partial v}}{‖ \frac{\partial σ}{\partial u} \land \frac{\partial σ}{\partial v} ‖} .

Ao expandir $\int_{Γ} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \iint_{σ} rot \vec{F} \cdot \vec{n} d S$ toma a forma:

\begin{aligned} \int_{Γ} & P (x, y) d x + Q (x, y) d y + R (x, y) d z = \\ = \iint_{σ} (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}) d y d z + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}) d z d x + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y . \end{aligned}

Exemplo 1

Considere uma superfície que uma porção do plano e um campo vetorial $\vec{F} (x, y, z) = (P, Q, R)$ que possui componentes apenas no plano, nestas condições podemos ver que $\vec{F} (x, y, z) = (P (x, y), Q (x, y), 0)$ .

Calculando o rotacional temos

rot \vec{F} = | \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & 0 \end{array} | = [\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}] \vec{k} .

e aplicando o teorema de Stokes

\int_{Γ} P d x + Q d y = \int_{Γ} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \iint_{σ} rot \vec{F} \cdot \vec{n} d S = \iint_{K} [\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}] d x d y .

Aqui o vetor $\vec{n} = \vec{k}$ . Olhando a expressão vemos que obtivemos o teorema de Green. Podemos dizer que teorema de Stokes generaliza o teorema de Green para o espaço.

Orientação

Sejam $σ : K \subset R^{2} \to R^{3}$ uma superfície regular orientada e $\vec{n}$ um campo de vetores normais unitários. Dizemos que o bordo de uma região $S$ , $Γ$ , está orientado positivamente se, ao caminhar ao longo de $Γ$ , com a cabeça no sentido de $\vec{n}$ , a região $S$ fica sempre a nossa esquerda.

Veja o relógio no braço esquerdo sobre a região $S$

Para descidirmos qual o sentido em que $Γ$ deve ser percorrido devemos utilizar o famoso "método da mão direita", o qual consiste em determinar para onde o indicador será apontado, se exigirmos que o dedo maior aponte para dentro da região $S$ e o polegar aponte na direção da cabeça do homem caminhando sobre $Γ$ que é a mesma da direção do vetor $\vec{n}$ .

Um outro critério que você pode usar para decidir se a orientação escolhida é a adequada é olhar para a superfície de forma que todos os vetores unitários normais estejam apontados para você, a curva deve então estar orientada no sentido anti-horário.

Observe que no exemplo anterior o $Γ$ deve ser escolhido no sentido anti-horário, uma vez que o vetor normal $\vec{n} = \vec{k}$

Exemplo 2

Sejam $\vec{F} (x, y, z) = x^{2} z^{2} \vec{i} + y^{2} z^{2} \vec{j} + x y z \vec{k}$ um campo vetorial, e $S$ é a superfície que é a parte do paraboloide $z = x^{2} + y^{2}$ que está dentro do cilindro $x^{2} + y^{2} = 4$ , com o vetor normal $\vec{n}$ escolhido de tal forma que $\vec{n} \cdot \vec{k} > 0$ . Nestas condições calcule $\iint_{S} rot \vec{F} d S$ .

Para calcular $\iint_{S} rot \vec{F} d S$ precisamos inicialmente calcular $rot \vec{F}$ , então

rot \vec{F} = | \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^{2} z^{2} & y^{2} z^{2} & x y z \end{array} | = (x z - 2 y^{2} z) \vec{i} + (2 x^{2} z - y z) \vec{j} + (0) \vec{k} .

Para calcularmos $\iint_{S} rot \vec{F} d S$ precisamos obter uma parametrização $σ$ para $S$ . Considere $σ (u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2})$ , com a restrição ao disco $K = {(u, v) \in R^{2} : u^{2} + v^{2} \leq 4}$ . A partir desta contas percebemos que vamos precisar realizar muitas outras contas. Então na expectativa de economizar todas estas manipulações vamos ver o que acontece quando utilizamos o teorema de Stokes.

Vamos orientar $Γ$ no sentido positivo, que neste caso a curva fica orientada no sentido anti-horário. A equação vetorial de $Γ$ é: $r (t) = (2 \cos (t), 2 sen (t), 4)$ , com $0 \leq t \leq 2 π$ . Derivando, $r^{'} (t) = (- 2 sen (t), 2 \cos (t), 0)$ .

\begin{aligned} \iint_{S} rot \vec{F} d S & = \int_{Γ} \vec{F} \cdot d \vec{r} \\ = \int_{0}^{2 π} (4 \cos^{2} (t) \times 16, 4 sen^{2} (t) \times 16, 2 \cos (t) \times 2 sen (t) \times 4) \cdot (- 2 sen (t), + 2 \cos (t), 0) d t \\ = \int_{0}^{2 π} (- 128 c o s^{2} (t) s e n (t) + 128 s e n^{2} (t) c o s (t) + 0) d t \\ = {[\frac{128}{3} c o s^{3} (t) + \frac{128}{3} s e n^{3} (t)]}_{0}^{2 π} \\ = 0 \end{aligned}

Como fica subentendido no exemplo podemos pensar a superfície $S$ no espaço sendo delimitada pela curva $Γ$ , como se $Γ$ fosse um laço de arame que você acabou de mergulhar no sabão, e $S$ fosse o início de uma bolha de sabão emergindo do laço. Fica claro que o resultado desta integral vai ser o mesmo para qualquer outra superfície, o que importa é o laço do arame.

Outra interpretação para o rotacional

Quando $Γ$ é uma curva fechada é comum nos referir à integral $\int_{Γ} \vec{F} \cdot d \vec{r}$ como a "circulação´´ de sobre $Γ$ . Graças ao teorema de Stokes podemos interpretar, então, que a circulação de $\vec{F}$ sobre a fronteira de $σ$ , orientada positivamente com relação à normal $\vec{n}$ é igual ao fluxo do rotacional de através de $σ$ .

Definimos

rot \vec{F} (P) \cdot \vec{n} = lim_{diam σ \to 0} \frac{\iint_{Γ} \vec{F} \cdot d \vec{r}}{área σ}

Onde $diam B$ é o diâmetro de $B$ e isso é maior que todas as distâncias entre dois pontos quaisquer de $B$ . Podemos parafrasear isso dizendo: a circulação de $\vec{F}$ sobre $Γ$ é aproximadamente o produto da área de $σ$ pela componente do rotacional de $\vec{F}$ em $P$ , na direção $\vec{n}$ .

Vamos justificar esta reinterpretação do rotacional, para isso sejam $σ : K \subset R^{2} \to R^{3}$ uma porção de uma superfície regular por $σ (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))$ onde $x (u, v)$ , $y (u, v)$ e $z (u, v)$ são de classe $C^{1}$ num aberto que contém $K$ e, $\vec{F} = (P, Q, R)$ um campo vetorial de classe $C^{1}$ num aberto que contém $IM (σ)$ . Seja ainda, um plano $α$ passando por $P$ e normal a $\vec{n}$ . Sendo $\vec{F}$ de classe $C^{1}$ resulta que $rot \vec{F} \cdot \vec{n}$ é contínua em $α \cap Ω$ . Assim dado $ϵ > 0$ existe $δ > 0$ tal que para todo $X \in α \cap Ω$

| X - P | < δ \Rightarrow | rot \vec{F} (X) \cdot \vec{n} - rot \vec{F} (P) \cdot \vec{n} | < ϵ

Para a porção da superfície regular $σ$ , passando por $P$ , e com a imagem contida em $α$ , teremos

\begin{aligned} ‖ \iint_{σ} rot \vec{F} (X) \cdot \vec{n} d S - rot \vec{F} (P) \cdot \vec{n} área de σ ‖ \\ = ‖ \iint_{σ} rot \vec{F} (X) \cdot \vec{n} d S - \iint_{σ} rot \vec{F} (P) \cdot \vec{n} d S ‖ \\ = ‖ \iint_{σ} [rot \vec{F} (X) rot \vec{F} (P)] \cdot \vec{n} d S ‖ \\ \leq \iint_{σ} ‖ [rot \vec{F} (X) - rot \vec{F} (P)] \cdot \vec{n} ‖ d S < ϵ área de σ . \end{aligned}

Tomando \sigma de tal forma que o diametro de \sigma seja menor que $δ$ e dividindo pela área de $σ$

‖ \frac{\iint_{σ} rot \vec{F} (X) \cdot \vec{n} d S}{área de σ} - rot \vec{F} (P) \cdot \vec{n} ‖ < ϵ .

Seja $Γ$ é uma curva fronteira de $Σ$ orientada positivamente com relação a $\vec{n}$ , obtemos

lim_{diam σ \to 0} \frac{\int_{Γ} \vec{F} (X) \cdot d \vec{r}}{área de σ} = rot \vec{F} (P) \cdot \vec{n} .