Integral Dupla e o Teorema de Fubini
No seguinte applet mostramos, de forma geométrica, a igualdade entre a integração iterada e a integral dupla de uma função $ f(x,y)$ definida no retângulo $[a,b]\times[c,d]$ (Teorema de Fubini). O parâmetro $h$ define uma partição do domínio. Quanto mais pequeno seja $h$ mais fina será a partição. O valor da integral é estimada a partir de uma soma de Riemann definida sobre um pontilhamento da partição dada, quanto menor seja $h$ maior será a aproximação do valor estimado com o valor da integral.
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Integral sobre Região de Tipo I
No seguinte applet pode experimentar a integração de uma função $ f(x,y)$ definida sobre uma região de tipo I $R={(x,y) \in \mathbb{R}^2:\arrowvert a\leq x \leq b, \; g_1(x) \leq y \leq g_2(x)}$ o parâmetro $h$ define uma partição no intervalo $[a,b]$ e é usado para estimar o valor de $ \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \; f(x,y)dydx $ , quanto menor seja o valor de $h$ , melhor será a estimativa do valor da integral.
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Integral sobre Região de Tipo II
No seguinte applet pode experimentar a integração de uma função $R={(x,y) \in \mathbb{R}^2:\arrowvert g_1(x)\leq x \leq g_2(x), \; a \leq y \leq b}$ , o parâmetro $h$ define uma partição no intervalo $[a,b]$ e é usado para estimar o valor de $ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_a^b $ , quanto menor seja o valor de $h$ , melhor será a estimativa do valor da integral.
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Centro de Massa
Massa
Seja $D \in \mathbb{R}$ região limitada em $\mathbb{R}^{2}$ representando uma lâmina plana, e seja $\delta$ a função densidade superficial de massa do material(massa por unidade de área), temos:
\[\begin{split} M = \iint_D \delta(x,y) dxdy\ \end{split} \]Momento de Massa
Para se encontrar o centro de massa é necessário antes determinar o momento de massa em relação ao eixo:
$\cdot$ Eixo X:
Multiplica-se por y pois é a distância de $\overline{x}$ até o eixo x
$\cdot$ Eixo Y:
\[\begin{split} M_y = \iint_D x \cdot \delta(x,y) dA \end{split} \]Multiplica-se por x pois é a distância de $\overline{y}$ até o eixo y
Centro de massa
Utilizando-se do momento de massa é possível encontrar o centro de massa:
C.M. = ($\overline{x},\overline{y}$) = $\left(\frac{M_y}{M},\frac{M_x}{M}\right)$ Ou seja:
Abaixo encontra-se um applet do geogebra exemplificando o Cálculo de centro de massa de uma região de tipo I, determinada entre os gráficos das funções $g_1(x)$ e $g_2(x)$ no intervalo $[a,b]$, sendo $g_1(x)\leq g_2(x)$ , com função de densidade $f(x,y)$.
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Mudança de variáveis
Como vimos anteriormente, utilizando-se do teorema de Fubini, é possivel calcular integrais duplas. Estas são importantes para se encontrar aréas, volume por baixo de uma curva, encontrar centros de massa, entre outras aplicações.
Porém, e se quisermos cálcular:
D região limitada por (x+y=3,y+x=5,y-x=1,y-x=3)
Esta integral não pode ser resolvida utilizando os métodos simples que vimos acima, ou pelo menos não de forma simples, para resolve-la, utilizaremos da mudança de váriavel.
Variáveis u e v
Para realizar a mudança, primeiro é necessário entender como funciona a mudança de váriaveis. Fremos igual a como era feito em cálculo 2A, porém com 2 transformações, onde:
$(u,v)\longrightarrow(x,y)=(X(u,v),Y(u,v))$
No exemplo acima, faremos com que (x+y)=u e (y-x)=v. Normalmente você pensaria em substituir direto isto na integral e resolve-la, porém, devemos primeiro cálcular o jacobiano desta transformação e usa-lo na integral, pos a substituição toma a forma de dxdy=Jdudv.
O Jacobiano
Temos que:
J(u,v)= $\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ = $\det \begin{bmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{bmatrix}
$
Precisamos agora isolar as váriaveis x(u,v) e y(u,v).
$u = x+y \longrightarrow x = u-y\\v = y-x \longrightarrow y = v+x \longrightarrow y = v+(u-y) \longrightarrow y = \frac{v+u}{2}$
Logo:
$x = u-\frac{v+u}{2} = \frac{2u}{2}-\frac{v+u}{2} \longrightarrow x = \frac{u-v}{2}$
Resolvendo esta determinante para nosso exemplo temos:
J(u,v)=$\begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{(-1)}{2} \\ \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} $ = $\dfrac{1}{2}$
resolvendo a integral utilizando mudança de variáveis
Agora, com o jacobiano determinado, podemos resolver nossa integral utilizando a substituição adotada. Temos que:
E assim concluímos nosso rápido tutorial. Em reumo, você irá localizar as funções que deverão ser substituidas na integral, a fim de possibilitar a resolução, mudar os limites de integração de acordo com o dominio das novas variáveis, cálcular o jacobiano e usa-lo na nova integral.
Mudança de variáveis com coordenadas polares
Vimos acima como se calcular integrais duplas pelo uso da mudança de variáveis. Agora, proponho um novo problema utilizando deste conceito.
Suponhamos agora que você tenha a seguinte equação: $x^2+y^2=r^2$, ou seja, um círculo. Como faríamos para calcular sua área ou integrar uma função nos limites desta curva?
Abaixo há um applet do geogebra demonstrando um círculo em função das coordenadas $\theta$ e r
Sabemos que o círculo é uma região tanto do tipo 1 quanto do tipo 2. Logo, você pode separa-lá por $r=\sqrt{x^2+y^2}$ na parte superior, e $r=-\sqrt{x^2+y^2}$ na parte inferior. Assim poderíamos integrar tanto em função de $y$ quanto de $x$, ambos variando de $-r$ a $r$. Porém, este método é muito trabalhoso e pouco eficiente conforme mudamos nossa região de integração.
As Coordenadas Polares
Vamos então utilizar a seguinte mudança de variáveis: $r = \cos\theta$ e $y= r \,\mathrm{sen} \,\theta$, pois assim $x^2+y^2=r^2$, e nossas variáveis serão $r$ e $\theta$. Com $r$ representando o raio do círculo a partir da origem, e $\theta$ o ângulo percorrido a partir da origem.
Agora vamos calcular o jacobiano:
\[\begin{split} J&=\det \frac{\partial(x,y)}{\partial(r, \theta)}=\det \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ & \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix} \\&=\det \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\,\mathrm{sen} \,\theta \\ \,\mathrm{sen} \,\theta & r\cos\theta \end{bmatrix} = r. \end{split} \]
Ou seja, $J = r$, logo $dx \,dy = r dr \, d\theta$.
Utilizando coordenadas polares
Agora vamos resolver a pergunta anterior utilizando esta substituição de coordenadas:
Considere o raio $r$, logo $0\leq r \leq r$ e o ângulo $\theta$ (em radianos) com $0\leq \theta \leq 2\pi$, então a integral de área fica
\[\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} 1 \cdot r \,\, dr\,d\theta = 2\pi\left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{r}= \pi r^2.\]Assim, encontramos aquela famosa fórmula da área do círculo que conhecemos desde o ensino fundamental. Esta é apenas uma aplicação básica das coordenadas polares a fim de demonstrar sua utilidade ao se calcular integrais em regiões circulares.
Considere a função $f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2} + xy$ e queremos calcular a integral de $f(x,y)$ sobre $K$ que corresponde aos dois primeiros quadrantes do circulo de raio 2.
Para isso consideramos a mudança de coordenadas $x = r \cos\theta$ e $y= r \,\mathrm{sen} \,\theta$, e como é o primeiro quadrante temos: $0\leq r \leq 2$ e $0\leq \theta \leq \pi/2$, temos: $f(r \cos\theta,r \,\mathrm{sen} \,\theta)= \sqrt{r^2 \left( \cos^2\theta+\,\mathrm{sen} \,^2\theta \right)} + r^2 \,\mathrm{sen} \,\theta \cos\theta$. A integral torna-se:
\[\begin{split} \iint_K{f(x,y)}\,\,dx\,dy &=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2} \left( r + r^2 \,\mathrm{sen} \,\theta \cos\theta \right)r \,\,dr\,d\theta \\&=\int_{0}^{\pi/2} \left[ \frac{1}{24} r^3 (3 r \,\mathrm{sen} \,(2 \theta)+8) \right]_{0}^{2} \,\, d\theta \\&=\int_{0}^{\pi/2} \left(4 \,\mathrm{sen} \, (\theta) \cos (\theta)+\frac{8}{3} \right) \,\, d\theta\\&=\left[\frac{8 \theta}{3}-2 \cos^2(\theta) \right]_{0}^{\pi/2}\\&=2+\frac{4 \pi}{3}.\\ \end{split} \]