Fluxo de um campo vetorial e o Teorema da Divergência
Considere $\sigma: K \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 $ uma superfície de classe $C^1$ definido sobre o compacto $K$ o qual possui fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. Como sabemos podemos definir para cada ponto $(u,v)$ da superfície um vetor normal $\overrightarrow{n_1}$ dado por
\[\overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{n_1} (\sigma (u,v))= \frac{\frac{\partial \sigma }{\partial u}\land \frac{\partial \sigma }{\partial v}}{\left\| \frac{\partial \sigma }{\partial u}\land \frac{\partial \sigma }{\partial v} \right\| }.\]Além deste vetor normal sempre podemos definir outro vetor que também será normal $\overrightarrow{n_2}=-\overrightarrow{n_1}$ a superfície.
Seja $\overrightarrow{F}: IM(\sigma) \rightarrow \mathbb{R}^3$ um campo vetorial contínuo, e $\overrightarrow{n}$ um dos campos $\overrightarrow{n_1}$ ou $\overrightarrow{n_2}$. Considere $\overrightarrow{F_n} =\left( \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}\right) \overrightarrow{n} $ a projeção ortogonal de $\overrightarrow{F}$ sobre o campo $\overrightarrow{n}$.
A integral de superfície $\iint_\sigma \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n} \,\, dS$ é denominada fluxo de $\overrightarrow{F}$ através de $\sigma$, na direção $\overrightarrow{n}$. Segue da definição de integral de superfície que
\[\iint_\sigma \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\, dS = \iint \overrightarrow{F}(\sigma(u,v))\cdot \overrightarrow{n}(\sigma (u,v)) \left\| \frac{\partial \sigma }{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \sigma }{\partial v}(u,v) \right\| du dv\]Temos dai que
\[\iint_\sigma \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\, dS =\iint_\sigma \overrightarrow{F}(\sigma(u,v)) \cdot \left[\frac{\partial \sigma }{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \sigma }{\partial v}(u,v)\right] \,\, du \,\, dv.\]Uma vez que
\[\overrightarrow{n} (\sigma (u,v))=\frac{ \frac{\partial \sigma }{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \sigma }{\partial v}(u,v)}{\left\| \frac{\partial \sigma }{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \sigma }{\partial v}(u,v) \right\|}.\]Considere o campo vetorial $\overrightarrow{v}(x,y,z)=\left(10, x²+y²,-2xy \right) =10 \,\vec{i} + (x^2+y^2)\,\vec{j} - 2xy \,\vec{k} $ e calcule o fluxo deste campo através da superfície parametrizada
\[\sigma = \sigma(u,v)=\left( u,\, v,\, 1-u²-v² \right), \mbox{ com } 0\leq u \leq 1,\,\, 0 \leq v \leq 1.\]Considere $K$ o retângulo $\left\{ (u,v)\in \mathbb{R}^2: 0\leq u \leq 1,\,\, 0 \leq v \leq 1 \right\}$ e
\[\iint_\sigma \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} \, dS = \iint_K (10,u²+v², -2uv)\cdot(2u,2v,1)\,\, du\, dv.\]Ou seja,
\[\begin{split} \iint_\sigma \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} \, dS &= \int_0^1\int_0^1 20u+2u²v+2v³-2uv \,\, du\,dv \\&=\int_0^1 \left[ u^2+\frac{2}{3}u^3v+2v^3u-u^2v \right]^1_0 \,dv\\&= \left[ \frac{2}{4}v^4 -\frac{1}{6}v^2 +10v \right]^1_0\\&= \frac{31}{3}. \end{split} \]Observe que se olharmos $\overrightarrow{v}$ como um campo de velocidade associado a um escoamento de um fluído e se for medido em $m/s$, então o fluxo de através da porção da superfície $\sigma$ será medido em $m^3/s$. Neste caso, teremos: $ \iint_\sigma \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} \, dS = \frac{31}{3}\frac{m^3}{s}$.
Muitas vezes, teremos que calcular o fluxo de um campo vetorial sobre "superfícies´´ como, por exemplo, a fronteira de um cubo, de um cilindro etc. Será conveniente, então, olhar tais "superfícies´´ como imagens de cadeias.
Sejam $ \sigma_i : K_i\subset\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ com $(i=1,2,\cdots,n)$ uma família de superfícies de classe $C^1$, regulares e injetoras no interior de $K_i$, onde os $K_i$ são conjuntos compactos com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. Suponha $\sigma_i (\mbox{do interior de }K_i) \cap \sigma_j (\mbox{do interior de }K_j)=\emptyset $ para todo $i \neq j$. Nestas condições, a $n$-upla $(\sigma,\dots,\sigma_n)$ é denominada cadeia. Definimos a imagem da cadeia $(\sigma,\dots,\sigma_n)$ por
\[\mathbf{IM}\, \sigma = \mathbf{IM}\, \sigma_1 \cup \mathbf{IM}\, \sigma_2 \cup \cdots \cup \mathbf{IM}\, \sigma_n.\]Seja $\overrightarrow{F}$ um campo vetorial sobre $\mathbf{IM}\,\sigma$, onde $(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)$ é uma cadeia e seja $\overrightarrow{n_i}$ um campo unitário normal a $\sigma_i$. Definimos
\[\iint_\sigma{\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n}\,\,dS} = \iint_{\sigma_1}{\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_1}\,\,dS} + \cdots +\iint_{\sigma_n}{\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_n}\,\,dS}. \]onde $\overrightarrow{n}$ é um campo vetorial definido em $\mathbf{IM}\,\sigma$ tal que $\overrightarrow{n}(\sigma_i(u,v))=\overrightarrow{n}_i(\sigma_i(u,v))$ para todo $(u,v)$ no interior de $K_i$.
Calcule $ \iint_\sigma \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS$ onde $K$ é a fronteira do cubo $0\leq x \leq 1$, $ 0\leq y \leq 1$, $0\leq z \leq 1$ e $\overrightarrow{F}(x,y,z)=x²\,\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ e $\overrightarrow{n}$ é o campo normal apontando pra fora.
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Considere a cadeia $(\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6)$ nas quais cada $\sigma$ é um plano que fazem parte dos lados do cubo, onde $\overrightarrow{n_1}=\vec{k}$, $\overrightarrow{n_2}=\vec{j}$, $\overrightarrow{n_3}=-\vec{k}$, $\overrightarrow{n_4}=-\vec{j}$, $\overrightarrow{n_5}=\vec{i}$ e $\overrightarrow{n_6}=-\vec{i}$.
Logo $\sigma_1 (u,v) = (u,v,1)$ com $0\leq u\leq 1$ e $0\leq v \leq 1$, calculando
\[\frac{\partial \sigma_1 }{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \sigma_1 }{\partial v}(u,v) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = (0,0,1) = \vec{k}.\]Daí, temos
\[\iint_{\sigma_1} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_1} \,\,dS = \iint_K (u²,-1,1)\cdot(0,0,1)\,\,du \,dv = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1 \,\, du \,dv = 1.\]Já $\sigma_2 (u,v) = (u,1,v)$ com $0\leq u\leq 1$ e $0\leq v \leq 1$, calculando
\[\frac{\partial \sigma_2 }{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \sigma_2 }{\partial v}(u,v) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix} = (0,-1,0) = -\vec{j}.\]Daí,
\[\iint_{\sigma_2} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_2} \,\,dS = \iint_K (u²,-1,1)\cdot(0,1,0) \,\,du \,dv = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} -1 \,\, du\, dv = -1.\]Já $\sigma_3 (u,v) = (u,v,0)$com $0\leq u\leq 1$ e $0\leq v \leq 1$, calculando
\[\frac{\partial \sigma_3 }{\partial u}(u,v)\land \frac{\partial \sigma_3 }{\partial v}(u,v) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = (0,0,1) = \vec{k}.\]Daí,
\[\iint_{\sigma_3} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_3} \,\,dS = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (u²,-1,1)\cdot(0,0,-1) \,\,du \, dv = -1.\]Calculando as outra integrais vamos obter $\iint_{\sigma_4} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_4} \,\,dS = 1$, $\iint_{\sigma_5} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_5} \,\,dS = 1$ e $\iint_{\sigma_6} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n_6} \,\,dS = 0$.
Portanto,
\[\iint_{\sigma} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS = 1-1-1+1+1+0 = 1.\]Agora vamos verificar
\[\iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{F} \,\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 2x \,\,dx\,dy\,dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1 \,\,dy\,dz = 1.\]Portanto
\[\iint_{\sigma} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS = \iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{F} \,\,dx\,dy\,dz. \]Seja $B \subset\mathbb{R}^3$ um compacto, com interior não vazio, cuja fronteira coincide com a imagem de uma cadeia $\sigma = (\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_m)$. Suponhamos que, para cada índice $i$, seja possível escolher uma normal unitária $\overrightarrow{n}$ a $\sigma_{i}$, com $\overrightarrow{n_i}$ apontando para fora $B$. Seja $\overrightarrow{n}$ um campo vetorial definido na fronteira de $B$ e que coincide com $\overrightarrow{n_i}$ sobre a imagem de $\sigma_i$ dos pontos interiores de $K_i$. Seja $\overrightarrow{F}=P \vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$ um campo vetorial de classe $C^1$ um aberto contendo $B$. Pode ser provado que para uma classe bastante ampla de conjuntos $B$, nas condições acima, é válida a relação conhecida como teorema da divergência ou de Gauss.
\[\iint_\sigma \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\, dS = \iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{n} \,\,dx\,\,dy\,dz.\]Sejam $\overrightarrow{F}(x,y,z)=(x^2 y,x y^2,5-4xyz)= x^2 y \,\vec{i}+x y^2\,\vec{j}+ (5-4xyz)\,\vec{k}$ um campo vetorial e $\sigma$ a imagem de $x²+y²+z²=4$ e $z \leq 0$, sendo $\overrightarrow{n}$ o vetor normal a $\sigma$ com a terceira componente $z>0$. Calcule o fluxo de $\overrightarrow{F}$ através de $\sigma$, na direção $\overrightarrow{n}$.
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Vamos chamar de $B$ o compacto $x^2+y^2+z^2\leq 4$ e $z\leq 0$. Seja $\sigma_1$ a superfície
\[\sigma_1 (u,v) = (u,-v,0),\, \mbox{ com } u²+v² \leq 4.\]A fronteira de $B$ coincide, então, com a cadeia $(\sigma, \sigma_1)$. Pelo teorema de divergência
\[\iint_{\sigma} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS +\iint_{\sigma_1} \overrightarrow{F} \cdot (-\vec{k})\,\,dS = \iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{F} \,\,dx\,dy\,dz =\iiint_B 2xy + 2xy + (-4xy) \,\,dx\,dy\,dz = 0.\]Disso temos,
\[\iint_{\sigma} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS = \iint_{\sigma_1} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{k} \,\,dS. \]Mas,
\[\iint_{\sigma_1} (5-4u(-v)0) \,\,du\,dv = \iint_{\sigma_1} 5\,\,du\,dv = 5\times 4\pi = 20\pi. \]Portanto,
\[\iint_{\sigma} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS =20\pi.\]Até este momento todos os campos vetoriais estudados são sempre estáticos, é preciso chamar a atenção que isso não é o que encontramos na natureza. Imaginemos um campo vetorial que tente descrever os ventos, a cada instante, para um ponto específico o campo vetorial terá novas direções e amplitudes. Para alguns tipos de modelagem vamos precisar tratar deste tipo de campo. Abaixo trato de um caso onde este fenômeno é levado em consideração.
Imaginemos um escoamento (fluxo) num aberto $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$, com velocidade $\overrightarrow{v} (x,y,z,t)$ no ponto $(x,y,z)$ no instante $t$, com $t$ num intervalo aberto $I$. Seja $\rho(x,y,z,t)$ a densidade no ponto $(x,y,z)$ e no instante $t$. Seja $B \subset \mathbb{R}^3$ um compacto, no qual podemos aplicar o teorema da divergência, então $ M(t)=\iiint_B \rho(x,y,z,t) \,\, dx\, dy \, dz $ retorna a massa do fluido que ocupa a região $B$ no instante $t$. Como é $M(t)$ é de classe $C^1$ temos que
\[\frac{\partial M}{\partial t} (t) = \iiint_B \frac{\partial \rho}{\partial t} (x,y,z,t) \,\,dx\, dy \,dz\]nos fornece a taxa de variação, no instante $t$, da massa $M(t)$ que ocupa a região $B$. Seja $\sigma$ a fronteira de $B$, com normal $\overrightarrow{n}$ apontando para fora de $B$. Temos:
\[\iint_{\sigma} (\rho \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS = \left\{\begin{array}{l} \mbox{Diferença entre a massa que sai e }\\\mbox{ o que entra em $B$, por unidade de tempo.}\end{array}\right. \]Observe que se a massa esta aumentando com o transcorrer do tempo deveríamos ter $\frac{\partial M}{\partial t} (t) \geq 0$ e $\iint_{\sigma} (\rho \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS \leq 0$ e se caso a massa esta diminuindo deveríamos ter $\frac{\partial M}{\partial t} (t) \leq 0$ e $\iint_{\sigma} (\rho \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS \geq 0$
Tendo em vista o “princípio da conservação da massa” e supondo que em $\Omega$ não haja fontes e nem sorvedouros de massa, é razoável esperar que se tenha
\[\iiint_B \frac{\partial \rho}{\partial t} (x,y,z,t) \,\,dx\, dy \,dz = - \iint_{\sigma} (\rho \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS. \]que é a equação da continuidade na forma integral. Pelo teorema da divergência
\[\iint_{\sigma} (\rho \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{n} \,\,dS =\iiint_B \mathbf{div}\,(\rho \overrightarrow{v}) \,\,dx\, dy \,dz\]para cada $t \in I$. Resulta das duas últimas equações que
\[\iiint_{B} \left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div}\,(\rho \overrightarrow{v}) \right] \,\,dx\, dy \,dz=0.\]Agora como $B$ pode assumir qualquer esfera contida em $\Omega$ e da continuidade do integrando é razoável esperar que
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div}\,(\rho \overrightarrow{v})=0\]que é a equação da continuidade na forma diferencial.
Outra interpretação para o divergente
Sempre é bom ter mais de uma forma de fazer algo, em particular ter outra forma para calcular o divergente. Esta outra forma de calcular o divergente nos dará maiores liberdades para realizar manipulações em problemas que vem da física. A outra forma de calcular o divergente vem do fato que podemos aproximar o divergente de um campo $\overrightarrow{F}$ em um ponto $P$ por calcular
\[\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P)= \lim_{\left\| B \right\| \rightarrow 0} \frac{\iint_{\sigma} \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}\,\,dS}{\mathbf{vol}\, B}\]isto é, se o diâmetro de $B$ for suficientemente pequeno e se $P\in B$, então o fluxo de $ \overrightarrow{F}$ através da fronteira de $\sigma$ de $B$ será aproximadamente $\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P)$, sendo a aproximação tanto melhor quanto menor for o diâmetro de $B$. Para darmos uma justificativa para isso considere um campo vetorial $\overrightarrow{F}$ de classe $C^1$ num aberto $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ com $P \in \Omega$. Considere ainda, $P\in B\subset \Omega$ um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja $\sigma$ a fronteira de $B$, com normal $\overrightarrow{n}$ apontando para fora de $B$.
Sendo de $\overrightarrow{F}$ classe $C^1$, $\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}$ é contínua em $\Omega$; assim, dado $\epsilon >0$, existe $\delta > 0$, tal que
\[\left\| X-P \right\|< \delta \Rightarrow \left\| \mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(X)-\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P) \right\| < \epsilon.\]Chame de ($\mathbf{vol}\, B =$ volume de $B$) temos
\[\begin{split} \left\| \iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{F}\,\,dx\,dy\,dz-\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P) \cdot \mathbf{vol}\, B \right\|&= \left\| \iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{F}\,\,dx\,dy\,dz-\iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P)\,\,dx\,dy\,dz \right\| \\&=\left\|\iiint_B \left[\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(X)-\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P)\right]\,\,dx\,dy\,dz \right\| \\& \leq \iiint_B \left\|\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(X)-\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P)\right\|\,\,dx\,dy\,dz\\& < \epsilon \cdot \mathbf{vol}\, B \end{split} \]Para todo $B\subset \Omega$, com $P\in B$ e diâmetro de $B<\delta$ (diâmetro de $B$ é maior que todas as distâncias entre dois pontos quaisquer de $B$). Segue que
\[\left\|\mathbf{div}\, \overrightarrow{F}(P) -\frac{\iiint_B \mathbf{div}\, \overrightarrow{F}\,\,dx\,dy\,dz}{\mathbf{vol}\, B}\right\|< \epsilon\]sempre que $P \in B$ e diâmetro de $B < \delta$.