Integrais de superfície
A integral de superfície descreve a utilização das integrais múltiplas sobre uma determinada superfície S. Da mesma forma que utiliza-se integrais de linha para integrar o "caminho" descrito por uma função vetorial de uma variável em $\mathbb{R}^3$, as integrais de superfície vão agir sobre a superfície descrita por 2 variáveis.
Considere uma superfície S descrita por
\[ \vec{r}(u,v)= P(u,v) \hat \imath + Q(u,v) \hat \jmath + R(u,v) \hat k\]A integral de superfície de uma função f de 3 variáveis definida sobre S é dada como:
\[\int \int_r(T) f\cdot dS = \int \int_T f(r(u,v)) \cdot \lvert \lvert \vec{N}\rvert \rvert dudv\]onde $\vec{N}$ é um vetor normal à superfície.
Fixando $u=u_0$, $\vec{r}(u_0,v)$: função vetorial de uma variável, cuja imagem é uma curva em S $\frac{d\vec{r}}{dv}=(u_0,v)$: vetor tangente à curva no ponto $\vec{r(u_0,v_0)}$.
Fixando $v=v_0$, $\vec{r}(u,v_0)$: função vetorial de uma variável cuja imagem é uma curva em S $\frac{d\vec{r}}{du}(u,v_0)$: vetor tangente à curva no ponto $\vec{r}(u_0,v_0)$
$\vec{r_u}$ e $\vec{r_v}$ geram um plano tangente à curva no ponto $\vec{r}(u_0, v_0)$.
\[\vec{n} = \vec{r_u}(u_0, v_0) \times \vec{r_v}(u_0, v_0) \]$\cdot$ Uma superfície S é regular(ou suave) no ponto $(x_0, y_0, z_0) = \vec{r}(u_0, v_0)$ se $\vec{n} \neq 0$
$\cdot$ Uma superfície S é dita regular se $\vec{n} \neq 0$ em todos os seus pontos.
$\cdot$ Um ponto $\vec{r}(u_0, v_0)$ é dito singular se $\vec{n} = 0$
Portanto, a integral de f(x,y,z) em uma superfície S é descrita por:
\[\int \int_T f(r(u,v))\cdot \lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert dudv \]Observe que a integral de área da superfície é dada quando $f(x,y,z)=1$
\[ \int \int_T \lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert dudv \]Deduza a área da esfera. Primeiro, é preciso fazer a parametrização da esfera para uma função de duas variáveis(u, v)
\[x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \Rightarrow \vec{r}(u,v) = a\sin v \cos u \hat\imath + a\sin v\sin u \hat\jmath + a\cos v \hat k\]Ovserve que $\lvert\lvert \vec{r}(u, v) \rvert\rvert = a^2$
Encontrando $\vec{r_u}$ e $\vec{r_v}$
$r_u = \frac{d\vec{r}}{du} = (-a\sin v\sin u, a\sin v \cos u, 0) $
$r_v = \frac{d\vec{r}}{dv} = (a\cos v \cos u, a\cos v \sin u, -a\sin v) $
Logo, $\vec{n}$ fica:
\[ \vec{r_u}\times \vec{r_v} = \begin{vmatrix} \hat \imath & \hat \jmath & \hat k \\ -a\sin v\sin u & a\sin v \cos u & 0 \\a\cos v \cos u & a\cos v \sin u & -a\sin v \end{vmatrix} \]\[\begin{split} &= (-a^2 \sin^2v \cos u - 0, 0 - a^2 \sin^2v \sin u, -a^2\sin v \cos v \sin^2 u - a^2 \sin v \cos v \cos^2 u)\\&= (-a^2 \sin^2v \cos u, - a^2 \sin^2v \sin u, -a^2\sin v \cos v) \end{split} \]
Portanto, $\lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert$ fica:
\[\begin{split} \lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert &= \sqrt{(-a^2 \sin^2v \cos u)^2 + (- a^2 \sin^2v \sin u)^2 + (-a^2\sin v \cos v)^2}\\&= \sqrt{a^4(\sin^4 v \cos^2 u + \sin^4 v \sin^2 u + \sin^2 v \cos^2 v})\\&= a^2\sqrt{\sin^4 v + \sin^2 v \cos^2 v}\\&= a^2\sqrt{\sin^2v(\sin^2 v + 1\cdot \cos^2 v)}\\&= a^2 \sqrt{\sin^2 v}\sqrt{\sin^2 v + \cos^2 v}\\&= a^2\sin v \end{split} \]Observe que a norma do vetor normal na superfície esféria possui o mesmo resultado do jacobiano para coordenadas esféricas. Com isto, a área da esfera é dada por:
\[\begin{split} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} 1 \cdot a^2\sin v dv du &= a^2\cdot 2\pi \left[ -\cos v \right]_{0}^{\pi}\\ &= a^2\cdot 2\pi (-(-1) - (-1))\\ &= a^2 \cdot 2\pi \cdot 2\\ &= 4\pi\cdot a^2 \end{split} \]Integrais de campo sobre superfícies
Seja uma superfície S, orientada e com vetor normal unitário $\hat n$. Seja, também, $\vec{F}$ um campo vetorial agindo sobre a superfície S. A integral de $\vec{F}$ agindo sobre a superfície S fica da forma:
\[ \int \int_S \vec{F}\cdot dS = \int \int_S \vec{F} \cdot \hat n dS \]Como $n = \frac{\vec{r_u} \times \vec{r_v}}{\lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert}$ e $dS = \lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert dA$, a definição da integral de campo vetorial sobre uma superfície fica da forma:
\[ \int \int_S \vec{F} \cdot \hat n dS = \int \int_S \vec{F} \cdot \frac{\vec{r_u} \times \vec{r_v}}{\lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert} \cdot \lvert\lvert \vec{r_u} \times \vec{r_v} \rvert\rvert dA = \int \int_S \vec{F} \cdot (\vec{r_u} \times \vec{r_v}) dA \]A integral de campo sobre uma superfície é também chamada de fluxo do campo sobre uma superfície, muito utilizada na área mecânica dos fluidos e também na eletrofísica.
Abaixo seguem applets demonstrando os conceitos explicados acima:
Visualização da integral do campo $\vec{F}=(P,Q,R)$ sobre a superfície parametrizada $s(u,v)=(s_1,s_2,s_3)$ no domínio $[a,b]\times[c,d]$. Temos o campo normal (em vermelho) associado a parametrização da superfície e o campo $F$ restrito a superfície (em verde). Inclui-se uma estimativa numérica dessa integral.
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No applet abaixo é possível visualizar da integral da função $f: R^3 \rightarrow R$ sobre a superfície parametrizada $s(u,v) = (s_1,s_2,s_3)$ no domínio $[a,b] \times [c,d]$. Na primeira janela é possível manipular o ponto $(u,v)$ sobre o domínio e na janela a direita podemos ver o ponto $s(u,v)$, assim como os vetores $\frac{\partial s}{ \partial u}$ ,$\frac{\partial s}{ \partial v}$ e $ \frac{\partial s}{ \partial u} \times \frac{\partial s}{ \partial v}$. Inclui-se uma estimativa numérica dessa integral.
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