PARAMETRIZAÇÃO DE RETAS NO ESPAÇO
Na seção Parametrização de retas e segmentos no plano deduzimos as equações paramétricas de uma reta no plano. A equação vetorial da reta era \(\quad X(t)=(2-3t, 2t), \;t\in \mathbb{R}.\quad \)
Ou equivalentemente,
\(\quad X(t)=(2,0)+(-3, 2)t, \;t\in \mathbb{R}, \quad \) onde \(\;P(2,0)\; \) é um ponto por onde passa a reta e \(\; \vec{v}=(-3,2)\; \) é o vetor diretor.
As retas no espaço possuem mesmo tipo de equação vetorial, só que agora tanto o ponto quanto o vetor diretor estão no espaço. Isto é, eles tem três coordenadas.
Sendo assim, a equação vetorial da reta que passa pelo ponto \(\;A(-1,4,2)\) e tem vetor diretor \(\;\vec{w}=(1,3,-1)\) seria:
X(t)=(-1,4,2)+(1,3,-1)t, \;t\in \mathbb{R}.
Daí, as equações paramétricas da reta são
\begin{cases} x(t) &= -1+t \\ y(t) &=4+ 3t \\ z(t) &=2-t\end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}.
É só adicionar uma terceira coordenada! Nada demais, né? Agora... Esboçar a tal reta no espaço já não é nada simples! Nem para quem sabe muito de geometria, viu? Não é só você quem não sabe, não... Desenhar objetos no espaço no é para nada trivial, mas com um pouco de treinamento a coisa vai melhorando aos pouquinhos.
Com certeza você fez certo! É mesma coisa que com segmentos no plano, só que agora os pontos estão no espaço.
A equação vetorial do segmento de reta que vai do ponto A(-1,4,2) até o ponto B(1,2,1) seria
\( \quad (x,y,z)=(1,2,1)t+(-1,4,2)(1-t),\;t\in [0,1]. \quad \)
Ou equivalentemante,
\( X(t)=(-1+2t, 4-2t,2-t), \;t\in [0,1]. \)
Comprove que o primeiro ponto é A e o último ponto é B. Bancana, né?
Assim, a parametrização do segmento de reta que vai de A para B é:
\begin{cases} x(t) &= -1+2t \\ y(t) &= 4-2t \\ z(t) &= 2-t\end{cases} \quad ,\,t\in [0,1]
Legal, né?
Entre em contato com os monitores se ainda estiveres com dúvidas.
Força!
Curiosidade: Pergunte seu/sua professor/a o que acontece com a orientação de curvas no espaço. As vezes, para dar a orientação de uma curva no espaço precisaremos saber desde onde a gente está olhando para ela... Doido, né?
X(t)=At+B(1-t), t entre 0 e 1