Exercícios

Exercício 1

Determine as equações cartesianas das curvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce a curva a partir da equação cartesiana.

$ (a)\; \begin{cases} x(t) &= t \\ y(t) &= t-2\end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}\quad $

$(b)\;\begin{cases} x(t) &= 4+t \\ y(t) &= 4-t\end{cases} \quad ,\,t\in [0,1]\quad $

$(c) \;\begin{cases} x(t) &= t \\ y(t) &= e^{-2t}\end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}\quad $

$(d) \;\begin{cases} x(t) &= -1+\sqrt{3}\cos(t) \\ y(t) &= 1+\sqrt{3}\operatorname{sen}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in [0,2\pi]\quad $

$(e) \;\begin{cases} x(t) &= 2+\sqrt{3}\cos(t) \\ y(t) &= 3+\sqrt{2}\operatorname{sen}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in [0,2\pi]\quad $

$(f) \;\begin{cases} x(t) &= 2\cos(t) \\ y(t) &= 2\operatorname{sen}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\quad$

$(g) \;\begin{cases} x(t) &= 2\cos(2t) \\ y(t) &=2\operatorname{sen}(2t)\end{cases} \quad ,\,t\in [0,4\pi] \quad $

$(h) \;\begin{cases} x(t) &= -1- 2\cosh(t) \\ y(t) &=1+ 3\operatorname{senh}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}\quad $

$(i) \;\begin{cases} x(t) &= -2\sec(t) \\ y(t) &=5\tan(t)\end{cases} \quad ,\,t\in (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\quad $

$(j) \;\begin{cases} x(t) &= 2\sec(\frac{t}{2}) \\ y(t) &=5\tan(\frac{t}{2})\end{cases} \quad ,\,t\in (-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}) \quad $

$ (k) \; \begin{cases} x(t) &= -1+t \\ y(t) &= 2-3t \\ z(t) &= 1-2t\end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R} \quad $

$ (l) \; \begin{cases} x(t) &= -1+t \\ y(t) &= 2-3t \\ z(t) &= 1-2t\end{cases} \quad ,\,t\in [0,1] \quad $

$(m) \;\begin{cases} x(t) &= t \\ y(t) &= e^{-2t} \\ z(t) &=3 \end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}\quad $

$(n) \;\begin{cases} x(t) &= -1- 2\cosh(t) \\ y(t) &=1+ 3\operatorname{senh}(t) \\ z(t) &=-1 \end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}\quad $

Dica: Tente esboçar no papel e use o Geogebra apenas para conferir se seu desenho está certo. Use o comando Curvas!

$(a) \quad y=x-2 \quad $

$(b) \quad x+y=8, \; 4\leq x \leq 5 \quad $

$(c) \quad y=e^{-2x}, \; x\in \mathbb{R} \quad $

$(d) \quad (x+1)^2+(y-1)^2=3 \quad $

$(e) \quad \dfrac{(x-2)^2}{3}+\dfrac{(y-3)^2}{2}=1 \quad $

$(f) \quad x^2+y^2=4, \; -2\leq x \leq 0\quad $

$(g) \quad x^2+y^2=4\quad $

$(h) \quad \dfrac{(x+1)^2}{4}-\dfrac{(y-1)^2}{9}=1,\; x\leq -3 \quad $

$(i) \quad \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{25}=1,\; x\geq 2 \quad $

$(j) \quad \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{25}=1,\; x\geq 2 \quad $

$(k) \quad z=x+y \quad $

$(l) \quad z=x+y, \; -1\leq x\leq 0, \; -1\leq y\leq 2\quad $

$(m) \quad y=e^{-2x}, \; z=3\quad $

$(n) \quad \dfrac{(x+1)^2}{4}-\dfrac{(y-1)^2}{9}=1,\; x\leq -3, \; x=-1 \quad $

Entre em contato com os monitores se ainda estiveres com dúvidas.

Força!

Exercício 2

Esboce as curvas dadas pelas seguintes parametrizações sem passar a coordenadas cartesianas.

$ (a)\; X_1(t)=(t-4,t^2+5), \; \,t\in \mathbb{R}$

$(b)\; X_2(t)=(t,\pm 4\sqrt{1-t^2}), \; |t|<1$

$(c) \;X_3(t)=(t,\pm 4\sqrt{1-9t^2}), \;t\in (-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}) $

$(d) \;X_4(t)=(t,\pm \sqrt{t^2-1}), \;|t|>1$

$(e) \;X_5(t)=(t^2,t), \;t\in \mathbb{R}$

$(f)\; X_6(t)=(t-4,t^2+5), \; \,t\in \mathbb{R}$

$(g)\; X_7(t)=(\cos (t),\cos^2(t)), \; t\in \mathbb{R}$

$(h) \;X_8(t)=(\cos^2(t),\operatorname{sen}^2(t)),\; t\in \mathbb{R}$

$(i) \;X_9(t)=(e^t\cos(t),e^t \operatorname{sen}(t)), \;t\in \mathbb{R}$

$(j) \;X_{10}(t)=(t,t-1,t+2), \;t\in \mathbb{R}$

$(h) \;X_{11}(t)=(\cos(t),\operatorname{sen}(t),t),\; t\in \mathbb{R}$

Dica: Vai dando valores a t e esboçando os pontos no plano. Após alguns valores, veja se consegue identificar a curva.

Faça primeiro esse exercício com alguma curva que você já conheça, tipo circunferência ou elipse. Depois pegue essas outras mais complicadas.

É normal ter dificuldades no início. Pode usar o GeoGebra até você conseguir fazer sozinho no papel. Use o comando Curvas!

Entre em contato com os monitores caso a dificuldade persista.

Força!!

Exercício 3

Determine uma parametrização das seguintes curvas.

$ (a)\; C_1: y=1+2x\quad $

$(b)\;C_2: y=x^3\quad $

$(c) \; $ Circunferência de centro (2,3) e raio 4 com orientação positiva.

$(d) \; $ Elipse de centro (1,1) e semi-eixos a=1 e b=2 com orientação negativa.

$(e) \;C_3: y^2 - x^2=4 $

$ (a)\; \begin{cases} x(t) \;= t \\ y(t) \;= 1+2t\end{cases},\; t\in \mathbb{R}\quad $

$ (b)\; \begin{cases} x(t) \;= t \\ y(t) \;= t^3\end{cases},\; t\in \mathbb{R}\quad $

$ (c)\; \begin{cases} x(t) \;= 2+4\cos(t) \\ y(t) \;= 3+4\operatorname{sen}(t)\end{cases},\; t\in [0,2\pi]\quad $

$ (d)\; \begin{cases} x(t) \;= 1+\operatorname{sen}(t) \\ y(t) \;= 1+2\cos(t)\end{cases},\; t\in [0,2\pi]\quad $

$ (e)\; \begin{cases} x(t) \;= 2\operatorname{senh}(t) \\ y(t) \;= \pm 2\cosh(t)\end{cases},\; t\in\mathbb{R}\quad $ ou $ \; \begin{cases} x(t) \;= 2\tan(t) \\ y(t) \;= 2\sec(t)\end{cases},\; t\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2},\frac{\3pi}{2})\quad $

Atividade em grupo

Vimos dos parametrizações diferentes da hipérbole na seção de cônicas, certo? Isso leva a pensar que de repente as parametrizações não são únicas. Será?

Discuta com seus/suas colegas e tentem encontrar parametrizações diferentes para cada uma das curvas vistas neste capítulo. Se atente à orientação das curvas!

Desafio

Determine uma parametrização da curva intersecção das superfícies $ \; z=\sqrt{x^2+y^2}\;$ e $ \;z=1+y.\;$ Faça um esboço das superfícies e a curva com o GeoGebra para visualizar a curva.

Topa fazer um reel ou uma publicação para instagram explicando o problema? Inclua no vídeo a visualização dos objetos no GeoGebra.

Já estamos curiosos por ver sua arte!!

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