Já vimos o úteis que são as parametrizações para construir coisas, simular movimentos de objetos, etc. Mais ainda temos mais!
Se a parametrização for de uma trilha, como podemos saber como de fechada é uma curva no meio do caminho ou se temos que virar à direita ou esquerda? E se for o movimento de um objeto, como podemos saber a velocidade ou a aceleração em um determinado instante? Para isso é que necessitaremos o conceito de derivada da parametrização!
Uma parametrização
\(\; \gamma:\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t)\end{cases}\, ,\; t\in I \;\)
pode ser enxergada como sendo uma função \(\,\vec{\gamma}:\mathbb{R}\to \mathbb{R^2}\,\) que associa a cada instante t um vetor \(\; \vec{\gamma}(t)= (x(t),y(t))\). Assim, podemos calcular a derivada dessa nova função no instante \(\; t_0\;\) como sendo \(\; \vec{\gamma}\,'(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0)) \;\). Isto é, derivaremos coordenada a coordenada. Essa nova função pode dar um pouco de medo no início, mas não vai dar problema nenhum para você. Pode acreditar!
Só se atente a que agora a derivada é um vetor, ok? Ele será chamado de vetor derivada da parametrização e ele é tangente à curva \(\,\vec{\gamma}(t)\,\) no ponto \(\,\vec{\gamma}(t_0)\,\).
Sacou?
Vamos calcular a derivada no instante \(\, t=\frac{\pi}{2}\,\) da parametrização da circunferência \(\vec{\gamma}(t)=( 3+2\cos(t),-1+ 2\operatorname{sen}(t)), \;\,t\in [0,2\pi]\):
Se derivamos coordenada a coordenada temos que \(\vec{\gamma}\,'(t)=(-2\operatorname{sen}(t),2\cos(t)), \;\,t\in [0,2\pi]\).
Substituindo t por \(\,\frac{\pi}{2}\,\) temos que \(\vec{\gamma}\,'(\frac{\pi}{2})=(-2\operatorname{sen}(\frac{\pi}{2}),2\cos(\frac{\pi}{2}))=(-2,0)\). Assim, o vetor derivada ou tangente da curva \(\vec{\gamma}\) no instante \(t=\frac{\pi}{2}\) é \(\vec{v}=(-2,0)\).
Acredite, sim! Na atividade Como esboçar o vetor tangente a uma curva você enxergará certinho!
Primeiro devemos encontrar o instante \(\;t_0\;\) em que a curva passa pelo ponto \((1,-1)\):
\(\vec{\gamma}(t_0)=( 3+2\cos(t_0),-1+ 2\operatorname{sen}(t_0))=(1,-1)\). Então,
\(3+2\cos(t_0)=1\;\) e \(\;-1+ 2\operatorname{sen}(t_0)=-1.\;\) Isto é, \(\cos(t_0)=-2/2=-1\,\) e \(\operatorname{sen}(t_0)=0\,\). Logo, \(\,t_0=\pi\).
Agora, fazendo \(\,t=\pi\) na derivada \(\,\vec{\gamma}\,'(t)\), temos que o vetor derivada da parametrização no ponto (1,-1) é
\(\vec{\gamma}\,'(\pi)=(-2\operatorname{sen}(\pi),2\cos(\pi))=(0,-2)\).
Fique a vontade de mexer no tempo t. O applet devolverá o vetor \(\, \vec{r}(t)=(x(t),y(t))\,\) dado pela parametrização da curva e o vetor derivada \(\, \vec{r}\,'(t) \,\) em cada instante escolhido. Observe que ele é tangente à curva no ponto selecionado.
Tente relacionar o instante \(\,t_0\,\) com o ponto da curva \(\, (x(t_0),y(t_0)) \,\).
Para não poluir o applet, selecione apenas uma curva de cada vez. Clique aqui para visualizar o applet em uma janela externa.
https://www.geogebra.org/m/eba59mrb (Nova janela)
No capítulo de Funções vetoriais de uma variável do livro digital Cálculo de várias variáveis com Geogebra 3D. Vol I você poderá se aprofundar mais sobre este tipo de funções.
Fique a vontade de mexer no tempo t. O applet devolverá o vetor \(\, \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\,\) dado pela parametrização da curva e o vetor derivada \(\, \vec{r}\,'(t) \,\) em cada instante escolhido. Observe que ele é tangente à curva no ponto selecionado.
Tente relacionar o instante \(\,t_0\,\) com o ponto da curva \(\, (x(t_0),y(t_0),z(t_0)) \,\).
Para não poluir o applet, selecione apenas uma curva de cada vez. Clique aqui para visualizar o applet em uma janela externa.
Na natureza, o conceito de vetor tangente a uma curva é frequentemente observado em diversos fenômenos. Vamos explorar algumas aplicações:
Cinemática de Partículas em Movimento: Quando um objeto segue uma trajetória curva, o vetor tangente em cada ponto dessa trajetória indica a direção e o sentido do movimento da partícula naquele instante. Por exemplo, imagine uma bicicleta fazendo uma curva em uma estrada sinuosa. O vetor tangente em cada ponto da trajetória da bicicleta aponta para a direção em que ela está se movendo.
Correntes Oceânicas e Aéreas: As correntes oceânicas e os ventos atmosféricos seguem trajetórias complexas. O vetor tangente em qualquer ponto dessas correntes ou ventos indica a direção em que eles estão fluindo. Essa informação é crucial para a navegação marítima, previsão do tempo e estudos climáticos.
Curvas de Rio e Rios Meândricos: Os rios muitas vezes seguem curvas sinuosas em seu curso. O vetor tangente em cada ponto da curva do rio aponta para a direção em que a água está fluindo. Isso influencia a erosão das margens, a formação de meandros e a distribuição de sedimentos.
Movimento de Planetas e Satélites: No sistema solar, os planetas e satélites naturais (como a Lua) seguem órbitas elípticas ou circulares. O vetor tangente em qualquer ponto da órbita indica a direção do movimento orbital. Isso é fundamental para a mecânica celeste e a previsão de eclipses.
Curvas de Crescimento em Plantas e Árvores: O crescimento de plantas e árvores muitas vezes segue padrões curvos. O vetor tangente em cada ponto da curva de crescimento indica a direção em que a planta está se expandindo. Isso é relevante para a agricultura, silvicultura e estudos botânicos.
Em resumo, o vetor tangente a uma curva é uma ferramenta matemática essencial para entender o movimento e o comportamento de objetos naturais em trajetórias curvas. A que agora não te parece tão artificial? Deves confiar mais na matemática hehe
Encontre aplicações do vetor tangente em outros contextos como, por exemplo, a arquitetura e comparta com seus colegas da turma. Força!!
Dada uma parametrização de uma curva (ou caminho) \(\, \gamma(t)\,\), sabemos que podemos calcular sua derivada em um instante \(\,t_0\,\). Vimos que essa derivada é um vetor e aliás é tangente à curva no ponto \(\, \gamma(t_0)\,\), certo?
Prontinho... Nas seções iniciais vimos como dar uma parametrização de uma reta a partir de um vetor diretor e um ponto da reta, certo? Então, um vetor diretor da reta tangente a uma curva é o vetor tangente, que já vimos que é a derivada. Não se estresse, vamos ver um exemplo onde calcularemos passo a passo a reta para você enxergar direitinho.
Determine a equação da reta tangente à trajetória de \(\,\vec{r}(t)=(t, t^2,1)\,\) no instante \(\,t=2\,\).
Vamos lá... Para dar a equação da tal reta tangente, preciso de um vetor tangente ao ponto \(\,\vec{r}(2)=(2, 2^2,1)=(2,4,1)\,\). Para isso, vou calcular a derivada de \(\,\vec{r}(t)\,\) no instante \(\,t=2\,\). Isto é, \(\,\vec{r}\,'(2)\,\).
Derivando coordenada a coordenada, vemos que \(\,\vec{r}\,'(t)=(1, 2t,0)\,\). Logo \(\,\vec{r}\,'(2)=(1, 4,0),\,\) o procurado vetor tangente.
Portanto, conhecendo o ponto e um vetor tangente, uma equação paramétrica da reta tangente seria \(\,\vec{s}(t)=(2,4,1)+(1, 4,0)t=(2+t,4+4t,1),\,\) \(\,t\in \mathbb{R}.\,\)
Sacou?
Entre em contato com os monitores se ainda estiveres com dúvidas.
Força!