Já vimos alguns exemplos de como passar de equações cartesianas a paramétricas. Mas.... como é que se faz ao contrário? 

Para passar de equações paramétricas a cartesianas usaremos o chamado Método de Eliminação do Parâmetro. Sim, o que você vai ter que fazer é eliminar o parâmetro!! Vamos ver um exemplo?

Vimos em uma seção anterior que a parametrização da reta que passa pelo ponto P(2,0) e tem vetor diretor \(\quad \vec{v}=(-3,2)\quad \) é 

\begin{cases} x(t) &= 2-3t \\ y(t) &= 2t\end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}

Qual será a equação cartesiana? Vamos eliminar o parâmetro!

Observando as equações, vemos que \(\quad y=2t.\quad \) Donde \(\quad t=\frac{1}{2}y.\quad \)

Portanto, \(\quad x=2-3t=2-3\frac{1}{2}y.\quad \) Pronto! A equação cartesiana da reta é:

x=2-\frac{3}{2}y

Ou equivalentemente:

2x+3y=4

Acredite, sim. Pode ir à seção de parametrização de uma reta e conferir! 

O truque visto no apartado anterior para eliminar o parâmetro funciona geralmente para retas e gráficos de funções, mas para outro tipo de curvas como as trigonométricas o truque é diferente. Vamos lá?

A equação paramétrica da elipse que passa pela origem e tem semi-eixos a=3 e b=2 é:

\begin{cases} x(t) &=3\cos(t) \\ y(t) &= 2\operatorname{sen}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in [0,2\pi]

Da primeira equação obtemos \(\quad \cos(t)=\dfrac{x}{3}. \; \text{ Portanto,} \quad \cos^2(t)=\dfrac{x^2}{9}.\) 

Da segunda equação obtemos \(\quad \operatorname{sen}(t)=\dfrac{y}{2}. \; \text{ Portanto,} \quad \operatorname{sen}^2(t)=\dfrac{y^2}{4}.\) 

Como \(\quad \operatorname{sen}^2(t)+\cos^2(t)=1,\quad \) temos que \(\quad \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=\cos(t)^2+\operatorname{sen}^2(t)=1.\quad \)

Donde \(\quad \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1 \quad \) é a equação cartesiana da elipse.

Legal, né?

Entre em contato com os monitores se ainda estiveres com dúvidas.

Força!