A equação cartesiana da circunferência de centro a origem e raio 2 é \(\quad x^2+y^2=4,\quad \) certo? 

Qual será, então, suas equações paramétricas? Vamos lá!

Sabemos por trigonometria que \(\quad \cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)=1\quad \) para todo t entre 0 e \(2\pi. \) Não é? 

Então, fazendo certinho a conta, temos que \(\quad (2\cos(t))^2+ (2\operatorname{sen}(t))^2=4.\quad \) Pronto! Já sabemos quem é x e quem é y!

A parametrização da circunferência de centro a origem e raio 2 é 

\begin{cases} x(t) &= 2\cos(t) \\ y(t) &= 2\operatorname{sen}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in [0,2\pi]

Acredite, sim.... Faça a conta e confira. Vai ver que os pontos dessa curva verificam que \(\quad x^2+y^2=4,\quad \)

Curiosidade: Pergunte seu/sua professor/a o que significa a setinha que aparece na imagem do segmento. Com certeza ele/a vai falar de orientação de curvas!

A equação cartesiana da elipse de centro a origem e semi-eixos a=3 e b=2 é \(\quad \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1,\quad \) certo? 

Qual será, então, suas equações paramétricas? Vamos lá!

Como \(\quad \cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)=1\quad \) para todo t entre 0 e \(2\pi \), então

\(\quad \dfrac{(3\cos(t))^2}{9}+ \dfrac{(2\operatorname{sen}(t))^2}{4}=1,\quad \) não é?

Pronto! Já sabemos quem é x e quem é y!

A parametrização da elipse de centro a origem e semi-eixos a=3 e b=2 é 

\begin{cases} x(t) &= 3\cos(t) \\ y(t) &= 2\operatorname{sen}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in [0,2\pi]

Acredite, sim.... Faça a conta e confira. Vai ver que os pontos dessa curva verificam que \(\quad \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1,\quad \)

Curiosidade: Pergunte seu/sua professor/a o que significa a setinha que aparece na imagem do segmento. Com certeza ele/a vai falar de orientação de curvas!

A hipérbole, a diferença da circunferência e a elipse, possui duas parametrizações padrão. A primeira e mais simples de se lembrar (por analogia às outras cônicas) envolve funções hiperbólicas. Já a segunda envolve funções trigonométricas. 

Daremos as duas parametrizações da hipérbole de centro a origem, focos sobre o eixo horizontal e semi-eixos a=2 e b=3. A equação cartesiana dessa hipérbole é \(\quad \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1,\quad \) certo?

• Agora vamos com a parametrização por funções hiperbólicas!! Força!!

  Primeiro de tudo, vamos desmistificar as funções cosseno e seno hiperbólicos. Relaxa!! Não são nada do outro mundo, viu? São apenas somas de funções exponenciais!! Respire fundo e observe:

  \cosh(bt)=\dfrac{e^{bt}+e^{-bt}}{2}, \quad \operatorname{senh}(bt)=\dfrac{e^{bt}-e^{-bt}}{2}, \quad t\in \mathbb{R}

  Viu como não é tão complicado?

  Agora, a relação entre o cosseno e o seno hiperbólicos é um pouco diferente às das funções trigonométricas: \(\quad\cosh^2(t)-\operatorname{senh}^2(t)=1, \; \text{para todo}\; t\in \mathbb{R}.\quad \) Pode fazer a conta! Lembre que é só lidar com exponenciais!!

  Bom, uma vez que já perdemos o medo dessas funções hiperbólicas, podemos parametrizar a hipérbole igualzinho a como foi feito com a elipse!

  Como \(\quad \cosh^2(t)-\operatorname{senh}^2(t)=1,\quad \) para todo t nos reais, então

  \(\quad \dfrac{(2\cosh(t))^2}{4}- \dfrac{(3\operatorname{sen}(t))^2}{9}=1,\quad \) não é?

  Pronto! Já sabemos quem é x e quem é y!

  A parametrização da hipérbole de centro a origem, focos sobre o eixo horizontal, eixo real (abcisas) de medida 2 e eixo imaginário (ordenadas) de medida 3 é 

  \begin{cases} x(t) &= \pm 2\cosh(t) \\ y(t) &= 3\operatorname{senh}(t)\end{cases} \quad ,\,t\in \mathbb{R}

  Acredite, sim.... Faça a conta e confira. Vai ver que os pontos dessa curva verificam que \(\quad \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1,\quad \)

  Atenção! O \(\quad \pm \quad \) que aparece na parametrização não é nada demais... Não se espante. É devido a que o \(\quad \cosh(t)\quad \) é sempre positivo. Assim \(\quad +\cos(t)\quad \) dá o ramo positivo da hipérbole e \(\quad -\cosh(t)\quad \) descreve o ramo negativo. Viu como não era para tanto? Acredite mais em você!! Pode conferir certinho essa propriedade esboçando as curvas no Geogebra. Deve esboçar por serparado, primeiro com + e depois com -, ta? Força!

• Primeiro de tudo, vamos manipular um pouco a equação \(\quad\cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)=1. \quad \)

  Com efeito, se dividimos a equação trigonométrica toda por \(\; \cos^2(t), \; \) obtemos que \(\quad 1+\tan^2(t)=\sec^2(t). \quad \) Ou, equivalentemante, \(\quad \sec^2(t)-\tan^2(t)=1, \; \) para todo t onde não se anula o cosseno!! Porque, caso contrário, estaríamos dividindo por zero. Sabemos que não é possível, não é? Bom, aqui é onde está a pegadinha desta parametrização!

  Se não quisermos saber nada do intervalo já poderíamos dar a parametrização como fizemos com a elipse, pois \(\quad \dfrac{(2\sec(t))^2}{4}- \dfrac{(3\tan(t))^2}{9}=1,\quad \) não é?

  Daí, \(\quad x(t)= 2\sec(t)\; \) e \(\; y(t)= 3\tan(t).\quad \)Agora somente falta ver o intervalo! Bora?

  Assim como acontecia com o \(\; \cosh(t),\; \) a \(\; sec(t)\; \) também muda de sinal. Sendo ela possitiva em \(\; (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})\; \) e negativa em \(\; (\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2})\; \)

  Então já está o pacote fechado! A parametrização da hipérbole de centro a origem, focos sobre o eixo horizontal, eixo real de medida 4 e eixo imaginário de medida 6 é 

  \begin{cases} x(t) &= 2\sec(t) \\ y(t) &= 3\tan(t)\end{cases} \quad ,\,t\in (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2})\cup(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2})

  Acredite, sim.... Faça a conta e confira. Vai ver que os pontos dessa curva verificam que \(\quad \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1,\quad \)

  Atenção! O intervalo \(\; (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}) \; \) se corresponde com o ramo positivo da hipérbole (já que x>0). Já o intervalo \(\; (\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}) \; \) se corresponde com o ramo negativo da hipérbole (já que x< 0). Pode conferir certinho essa propriedade esboçando as curvas no Geogebra. Lembre que deve esboçar os ramos por serparado, ta? Primeiro um intervalo e depois o outro. Força!

Curiosidade: Pergunte seu/sua professor/a o que significa a setinha que aparece na imagem do segmento. Com certeza ele/a vai falar de orientação de curvas!